Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali
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Funzione di probabilità di massa: p_X(x) = Pr(X = x).
F è la primitiva di f: F(x) = ∫₋∞ˣ f(w)dw, e f = dF/dx.
Sommando sui valori dell'altra variabile: p_X(x) = Σ_y p(x, y) (il totale di riga della tabella).
La «densità» ha due nomi: funzione di probabilità di massa p_X(x) = Pr(X = x) per le discrete, funzione di densità f(x) per le continue. In entrambi i casi: non negativa e con somma/integrale 1, e la ripartizione F ne è la primitiva. Per le v.c. multiple esiste la congiunta, da cui si ricavano le marginali sommando (discreto) o integrando (continuo) sulle altre variabili.
| Richiede | Lez. 21 (ripartizione) |
| Serve per | Lez. 23 in poi (i momenti si calcolano sulla massa/densità); lez. 31–35 (v.c. multiple: qui c'è l'anteprima) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Probabilità di massa p_X(x) | Pr(X = x) per ogni valore del supporto; 0 fuori dal supporto | Dado: 6 barre alte 1/6 | f(x) continua (lì la puntuale è 0) |
| Densità f(x) | Limite di Pr(x < X ≤ x+dx)/dx per dx → 0; derivata della ripartizione | f(x) = 2x su [0,1] | Una probabilità (può superare 1) |
| Congiunta p(x₁,…,xₘ) | Pr(X₁ = x₁ ∩ … ∩ Xₘ = xₘ): la probabilità che tutte le componenti assumano quei valori insieme | Tabella di contingenza delle pₓᵧ | Il prodotto delle marginali (solo se indipendenti) |
| Marginale | Distribuzione di una componente, «mediata» sulle altre: somma o integrale della congiunta | Totali di riga/colonna della tabella | La condizionata (che fissa, non media) |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Massa (discreta) | p_X(x) = Pr(X = x); p ≥ 0; Σ p = 1 | 3 |
| Densità (continua) | f(x) = lim_{dx→0} Pr(x < X ≤ x+dx)/dx; f ≥ 0; ∫ f = 1 | 3–5 |
| Legame con F | F primitiva di f; p(x₀) = F(x₀) − F(x₀⁻) | 5 |
| Marginale discreta | p_X(x) = Σ_{y∈S_Y} p_{X,Y}(x, y) | 7 |
| Marginale continua | f_X(x) = ∫_{S_Y} f_{X,Y}(x, y) dy | 8 |
| Probabilità assolute | Pr(A) = Σₙ Pr(A|Bₙ)Pr(Bₙ); Pr(A) = ∫ Pr(A|X = x) f(x) dx | 6–7 |
Massa vs densità — la tabella che il quiz interroga:
| Criterio | Massa p_X (discreta) | Densità f (continua) |
|---|---|---|
| Valore in un punto | È una probabilità: Pr(X = x) | Non è una probabilità: Pr(X = x) = 0 |
| Vincolo di totale | Σ p = 1 | ∫ f = 1 |
| Grafico | Barre (dado: tutte alte 1/6) | Curva continua |
| Dalla ripartizione | Salto: F(x₀) − F(x₀⁻) | Derivata: f = dF/dx |
Esempio svolto (marginali) (esempio 22.1, pagg. 7–8): discreta — nella tabella di contingenza la marginale di X è il totale di riga (es. p(x₁) = 0,08+0,05+0,01+0,10 = 0,24). Continua — da f(x,y) = 6e^(−2x−3y) per x, y > 0, integrando su y: f_X(x) = 2e^(−2x). La logica è una: «sbarazzarsi» dell'altra variabile sommando o integrando.
Domande originali della dispensa (pagg. 17–19). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 22. La funzione di densità di una Variabile Casuale, dispensa pdf/22.pdf, 19 pagine fisiche. Proprietà: pagg. 3–6; caso multivariato: pagg. 6–8; esempi: pagg. 9–14; quiz: pagg. 17–19. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 255–262.