Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti
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µₖ = E(Xᵏ): somma (o integrale) dei valori elevati alla k, pesati con le probabilità (o la densità).
Il momento di ordine 1: µ = E(X) = Σ x·pₓ (discreta) o ∫ x·f(x) dx (continua). È «l'equivalente certo di una prova incerta».
Sempre 0: E(X − µ) = µ − µ = 0.
Per confrontare v.c. servono indici sintetici, costruiti con i momenti µₖ = E(Xᵏ). Il momento di ordine 1 è la media (valore atteso): il «centro ideale» della distribuzione, l'incasso atteso su molte repliche. È un operatore lineare, sta tra minimo e massimo del supporto, e lo scarto X − µ ha media zero. Attenzione: i momenti esistono solo se finiti.
| Richiede | Lez. 21–22 (ripartizione, massa e densità) |
| Serve per | Lez. 24 (varianza), lez. 25 (standardizzazione), tutte le distribuzioni del macroargomento 6 |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| V.c. somiglianti | Stessa funzione di ripartizione: F_X = F_Y; stesse probabilità, ma esiti possibilmente diversi nella stessa prova | Due dadi onesti distinti | V.c. coincidenti |
| V.c. coincidenti | Pr(X = Y) = 1: sempre lo stesso esito nella stessa prova (quindi anche somiglianti) | X e X stessa | Due lanci dello stesso dado |
| Momento di ordine k | µₖ = E(Xᵏ); esiste solo se finito | µ₂ del dado = 91/6 | I momenti della Cauchy f = 1/[π(1+x²)]: non esistono |
| Media (valore atteso) µ | Momento di ordine 1: equivalente certo della prova; indice di posizione | Dado: µ = 3,5 | Il valore «più probabile» (quella è la moda) |
| Scarto X − µ | V.c. che misura la distanza dalla media; ha sempre media 0 | Dado: valori da −2,5 a +2,5 | Lo scarto quadratico medio (lez. 30) |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Momento di ordine k | µₖ = E(Xᵏ) = Σ xᵏpₓ (discreta); ∫ xᵏf(x)dx (continua) | 5 |
| Teorema di esistenza | E(Xᵏ) finito ⟹ esistono E(Xʰ) per h ≤ k | 6 |
| Media | µ = Σ x·pₓ; µ = ∫ x·f(x)dx | 8 |
| Limiti della media | min S ≤ E(X) ≤ max S | 10 |
| Linearità | E(αX + βY) = αE(X) + βE(Y); E(c) = c | 10–11 |
| Scarto | E(X − µ) = 0 | 11 |
Perché serve la media (esempio 23.1, pagg. 6–7): due giochi — P₁: vinci sempre 1 €; P₂: vinci 2 € con testa, 0 con croce. Momento primo: 1 in entrambi. Nel lungo periodo rendono uguale: la media è il criterio di confronto, al netto della propensione al rischio.
Calcoli di riferimento: dado onesto → µ = (1+…+6)/6 = 3,5 (esempio 23.3). Continua con f(x) = 2x su [0,1] → µ = ∫ 2x² dx = 2/3; µ₂ = ∫ 2x³ dx = 1/2 (esempio 23.4). Questi due esempi tornano in tutte le lezioni del macroargomento.
Quando i momenti non esistono (esempio 23.2, pag. 7): per f(x) = 1/[π(1+x²)] (Cauchy) l'integrale di xᵏf(x) non converge: nessun momento di ordine k ≥ 1. Parlare di «media» lì è privo di senso.
Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 23. Momenti di una V.C.: La Media, dispensa pdf/23.pdf, 17 pagine fisiche. Somiglianza: pagg. 2–3; momenti: pagg. 5–7; media: pagg. 8–9; proprietà e scarto: pagg. 10–11; quiz: pagg. 15–17. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 262–264.