Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali
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Non decrescente; limite 0 a −∞; limite 1 a +∞; continua da destra.
F(x₀) − F(x₀⁻): il «salto». Nulla nel continuo, pari alla probabilità puntuale nei punti del supporto discreto.
3/6 = 0,5: la ripartizione resta costante tra un gradino e l'altro.
La funzione di ripartizione F(x) = Pr(X ≤ x) unifica discreto e continuo: somma di probabilità nel primo caso, integrale della densità nel secondo. Quattro proprietà la caratterizzano (non decrescenza, limiti 0 e 1, continuità da destra). Conoscere F significa conoscere l'intera struttura probabilistica della v.c.: X ∼ F(x). Discreta → gradini; continua → curva.
| Richiede | Lez. 18 e 19 (v.c. discrete e continue) |
| Serve per | Lez. 22 (densità, la «derivata» di F), lez. 44–47 (uso delle tavole: sono valori di F della Normale) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Funzione di ripartizione F(x) | Pr(X ≤ x): integrale della densità (continuo) o somma delle pᵢ con xᵢ ≤ x (discreto) | Dado: F(2,17) = 2/6 | La densità f(x) (è la sua derivata) |
| F(x₀⁻) | Limite da sinistra: Pr(X < x₀), senza il punto x₀ | Moneta (0/1): F(1⁻) = 0,5; F(1) = 1 | F(x₀), che include il punto |
| Step-function | Ripartizione discreta: costante a tratti, salta nei punti del supporto; il salto = probabilità puntuale | Dado: 7 tratti, 6 salti da 1/6 | La ripartizione di una v.c. continua |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Definizione unificata | F(x) = ∫₋∞ˣ f(w)dw (continua); F(x) = Σ_{xᵢ≤x} pᵢ (discreta) | 2 |
| Le 4 proprietà | non decrescente; lim₋∞ F = 0; lim₊∞ F = 1; continua da destra | 3 |
| Limiti | 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀x | 3 |
| Intervallo | Pr(x₁ < X ≤ x₂) = F(x₂) − F(x₁) | 5 |
| Coda destra | Pr(X > x₁) = 1 − F(x₁) | 5 |
| Probabilità puntuale | Pr(X = x₀) = F(x₀) − F(x₀⁻): 0 nel continuo, salto nel discreto | 6 |
I 4 casi di intervallo per v.c. discrete (pag. 7) — nel continuo si riducono tutti a F(x₂) − F(x₁):
| x₁ < X ≤ x₂ | F(x₂) − F(x₁) |
| x₁ ≤ X ≤ x₂ | F(x₂) − F(x₁) + Pr(X = x₁) |
| x₁ < X < x₂ | F(x₂) − F(x₁) − Pr(X = x₂) |
| x₁ ≤ X < x₂ | F(x₂) − F(x₁) + Pr(X = x₁) − Pr(X = x₂) |
Esempio discreto (pagg. 8–10): dado onesto, F a 7 tratti: 0 prima di 1, poi 1/6, 2/6, …, 1 da 6 in poi. F è definita su tutto ℝ: F(−0,45) = 0, F(2,17) = 2/6, F(24) = 1, anche se quei valori sono impossibili come esiti. E F(3) = F(3,143) = F(3,9999) = 0,5: tra i gradini la funzione non si muove.
Esempio continuo svolto (pagg. 11–13): densità f(x) = cx su [0,1], nulla altrove. Dalla condizione di area 1: c/2 = 1 → c = 2, quindi f(x) = 2x. Integrando: F(x) = x² su [0,1] (ramo di parabola). Allora F(0,4) = 0,16 e Pr(X > 0,5) = 1 − 0,25 = 0,75.
Domande originali della dispensa (pagg. 16–18). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 21. La funzione di ripartizione di una Variabile Casuale, dispensa pdf/21.pdf, 18 pagine fisiche. Definizione: pag. 2; proprietà: pagg. 3–7; esempio discreto: pagg. 8–10; esempio continuo: pagg. 11–13; quiz: pagg. 16–18. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 255–262.