Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti
0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere
γ₁ (momento standardizzato di ordine 3) misura l'asimmetria; γ₂ (ordine 4) la curtosi, cioè la concentrazione attorno al centro rispetto alle code.
3, la curtosi della Normale: γ₂ > 3 leptocurtica, γ₂ < 3 platicurtica, γ₂ = 3 normocurtica.
Il 3 (dispari) conserva il segno degli scarti e rivela da che lato pende la distribuzione; il 4 (pari) lo cancella e pesa solo la distanza dal centro.
Due v.c. possono avere stessa media e varianza ed essere diversissime. Gli indici di forma, costruiti sui momenti standardizzati, colmano il vuoto: γ₁ = µ̃₃ (asimmetria: positiva a destra, negativa a sinistra, 0 simmetrica) e γ₂ = µ̃₄ (curtosi, confrontata col 3 della Normale: lepto-, plati-, normocurtica).
| Richiede | Lez. 25 (standardizzata e momenti standardizzati) |
| Serve per | Lez. 27 (momenti caratteristici), lez. 43 (la Normale come riferimento di forma) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Indice di asimmetria γ₁ | Momento standardizzato di ordine 3: E(Z³) | Esponenziale: γ₁ = 2 (coda a destra) | m₃ (centrale non standardizzato) |
| Asimmetria positiva / negativa | γ₁ > 0: più peso verso destra della media; γ₁ < 0: verso sinistra; γ₁ = 0: simmetrica | Redditi: asimmetria a destra | — |
| Indice di curtosi γ₂ | Momento standardizzato di ordine 4: E(Z⁴); riferimento = 3 (Normale) | Laplace: γ₂ = 6 | γ₁ (quello è l'ordine 3) |
| Lepto / plati / normocurtica | γ₂−3 > 0: più appuntita della Normale; γ₂−3 < 0: più piatta; γ₂−3 = 0: come la Normale | Uniforme: γ₂ = 1,8 → platicurtica | — |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Asimmetria | γ₁ = µ̃₃ = E[((X−µ)/σ)³] | 4 |
| Curtosi | γ₂ = µ̃₄ = E[((X−µ)/σ)⁴] | 7 |
| Decomposizione γ₁ | γ₁ = m₃/σ³ = (µ₃ − 3µσ² − µ³)/σ³ | 9 |
| Decomposizione γ₂ | γ₂ = m₄/σ⁴ = (µ₄ − 4µµ₃ + 6µ²σ² + 3µ⁴)/σ⁴ | 9 |
| Esistenza | E(X⁴) finito ⟹ esistono γ₁ e γ₂ | 9 |
La lettura dei due indici:
| Indice | Valore | Diagnosi |
|---|---|---|
| γ₁ (asimmetria) | > 0 | Asimmetria a destra (positiva) |
| < 0 | Asimmetria a sinistra (negativa) | |
| = 0 | Simmetrica | |
| γ₂ (curtosi) | > 3 | Leptocurtica: più appuntita, code pesanti |
| < 3 | Platicurtica: più piatta | |
| = 3 | Normocurtica: come la Normale |
Perché il segno della potenza conta: nello z-score, i valori sotto la media hanno z < 0. Elevando al cubo i negativi restano negativi: se la coda sinistra pesa, γ₁ scende sotto zero. Elevando alla quarta tutto diventa positivo: γ₂ non sa più «da che parte» stanno i valori, misura solo quanto pesano le code rispetto al centro.
Avvertenza della dispensa (pagg. 5 e 8): entrambi gli indici possono essere distorti da valori estremi o forti asimmetrie; vanno letti insieme agli altri (lo vedrai nella lez. 27).
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 26. Momenti di Ordine Maggiore: Asimmetria e Curtosi, dispensa pdf/26.pdf, 15 pagine fisiche. Asimmetria: pagg. 3–5; curtosi: pagg. 6–8; proprietà: pag. 9; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 266–267.