Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti
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Media µ, varianza σ², asimmetria γ₁, curtosi γ₂: posizione, variabilità e forma.
Se esiste finito il momento quarto E(X⁴) (teorema di esistenza).
No: Laplace, Normale e Uniforme standardizzate hanno tutte µ = 0 e σ² = 1 ma curtosi 6, 3 e 1,8.
I momenti caratteristici — µ, σ², γ₁, γ₂ — sono il «cruscotto» di una v.c.: aspettativa, rischio e forma. Esistono se E(X⁴) è finito. Vanno letti insieme: media e varianza da sole possono dire «uguali» per distribuzioni diversissime, e nessun set di indici esaurisce l'informazione della distribuzione.
| Richiede | Lez. 23–26 (tutti e quattro gli indici) |
| Serve per | Macroargomento 6: ogni distribuzione sarà presentata con i suoi momenti caratteristici |
| Indice | Che cosa dice | Classe |
|---|---|---|
| Media µ | Il «centro ideale» attorno a cui gravitano i valori; l'aspettativa | Posizione |
| Varianza σ² | Quanto i valori si disperdono attorno alla media; il rischio | Variabilità |
| Asimmetria γ₁ | Da che lato pende la distribuzione rispetto alla media | Forma |
| Curtosi γ₂ | Concentrazione attorno al centro vs peso delle code (riferimento: 3) | Forma |
| Momenti caratteristici | µ, σ², γ₁, γ₂ (definizione 1, pag. 4) |
| Esistenza | E(X⁴) finito ⟹ esistono tutti e quattro (teorema 1, pag. 5) |
| Bernoulli (esempio 27.2) | µ = π; σ² = π(1−π); γ₁ = (1−2π)/√(π(1−π)); γ₂ = (1−3π+3π²)/(π(1−π)) |
| Esponenziale (esempio 27.3) | f = λe^(−λx): µ = 1/λ; σ² = 1/λ²; γ₁ = 2; γ₂ = 9 |
1. Somma di due dadi (esempio 27.1): massa triangolare su {2,…,12}; µ = 252/36 = 7; µ₂ = 329/6 → σ² = 329/6 − 49 = 35/6 ≈ 5,83; e γ₁ = 0 perché il numeratore µ₃ − 3µσ² − µ³ si annulla: distribuzione simmetrica attorno al 7, come si vede dal grafico a barre.
2. Moneta con probabilità π (esempio 27.2): tutti i momenti valgono π (µₖ = π ∀k ≥ 1!). Con π = 0,5: simmetrica (γ₁ = 0), varianza massima 0,25 — l'esito più incerto. Con π = 0,33 o 0,66: varianza più bassa e asimmetria opposta (+0,72 / −0,68). In tutti i casi platicurtica (γ₂ < 3).
3. Esponenziale (esempio 27.3): integrando per parti, µ = 1/λ e σ² = 1/λ². Al variare di λ cambiano posizione e scala, ma γ₁ = 2 e γ₂ = 9 restano fissi: la forma è una proprietà della famiglia, non del parametro.
Il monito (esempio 27.4): Laplace, Normale e Uniforme standardizzate hanno identici µ = 0, σ² = 1, γ₁ = 0 — le distingue solo la curtosi (6, 3, 1,8). E due distribuzioni con tutti i primi indici uguali possono comunque differire (Normale vs mistura di Normali): gli indici sintetizzano, non esauriscono.
Domande originali della dispensa (pagg. 19–21). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 27. Momenti Caratteristici, dispensa pdf/27.pdf, 21 pagine fisiche. Definizione: pagg. 4–5; esempi svolti: pagg. 6–15; quiz: pagg. 19–21. Calcoli degli esempi riscontrati sui valori della dispensa. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 266–267.