Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti

Lezione 25. Standardizzazione di una Variabile Casuale

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Come si definisce la v.c. standardizzata?

Z = (X − µ)/σ: si centra con la media e si scala con la deviazione standard.

Che media e varianza ha Z?

E(Z) = 0 e Var(Z) = 1, qualunque sia la X di partenza.

Cosa dice uno z-score di 1,15?

Il valore sta 1,15 deviazioni standard sopra la media della sua distribuzione.

1 · In 30 secondi

Valori «grezzi» con unità o scale diverse (euro vs dollari, kg vs g) non si confrontano. La standardizzazione Z = (X − µ)/σ produce numeri puri (adimensionali) con media 0 e varianza 1: gli z-score, che misurano la distanza dalla media in unità di deviazione standard. È una trasformazione lineare, e sui momenti di Z si costruiscono i momenti standardizzati (base di asimmetria e curtosi).

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 23 (media), lez. 24 (varianza)
Serve per	Lez. 26 (asimmetria e curtosi), lez. 43–47 (la Normale standard e le tavole z)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Variabile standardizzata Z	Z = (X − µ)/σ: numeri puri, E(Z) = 0, Var(Z) = 1	z = (87,5 − 82)/√23 = 1,15	La sola v.c. centrata X − µ (varianza invariata)
Deviazione standard σ	Radice quadrata della varianza; stessa unità di misura di X	√23 kg	La varianza (unità al quadrato)
z-score	Valore standardizzato: distanza dalla media in deviazioni standard, col segno	z = −0,55: mezzo σ sotto la media	Un percentile
Momenti standardizzati µ̃ₖ	Momenti di ordine k calcolati su Z; µ̃₀ = 1, µ̃₁ = 0, µ̃₂ = 1	µ̃₃ = asimmetria (lez. 26)	I momenti centrali mₖ (non divisi per σᵏ)

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Centratura	Y₁ = X − µ → E = 0, varianza invariata	4
Riscalatura	Y₂ = X/σ → Var = 1, media µ/σ	4
Standardizzazione	Z = (X − µ)/σ → E(Z) = 0, Var(Z) = 1	5
Momenti standardizzati	µ̃ₖ = E(Zᵏ) = Σ ((x−µ)/σ)ᵏ pₓ; ∫ ((x−µ)/σ)ᵏ f dx	9–10
Casi banali	µ̃₀ = 1; µ̃₁ = 0; µ̃₂ = 1	11

5 · Cuore della lezione

Esempio svolto (esempi 25.3–25.4, pagg. 6–8): pesi misurati in kg (µ = 82, σ² = 23) e poi in grammi (µ = 90.000, σ² = 21.000.000). Un individuo pesa 87,5 kg: z₁ = (87,5−82)/√23 = 1,15 nella prima distribuzione; z₂ = (87.500−90.000)/√21.000.000 = −0,55 nella seconda. |z₂| < |z₁|: il peso è più «centrale» nella seconda distribuzione. Gli z-score rendono confrontabile l'inconfrontabile.

Perché funziona: la standardizzazione è la trasformazione lineare Z = X/σ − µ/σ; per le proprietà di media (lineare) e varianza (quadratica sulle costanti), qualsiasi X non degenere con momenti finiti finisce con E = 0 e Var = 1. Due passi separati — centrare toglie la media, scalare porta la varianza a 1 — e serve farli entrambi.

Caso notevole (esempio 25.5): se X e Y sono indipendenti con la stessa varianza, la standardizzata della somma si decompone: Z = (1/√2)·Z_X + (1/√2)·Z_Y.

6 · Trappole

Centrare non basta: X − µ ha media 0 ma varianza invariata; dividere per σ² invece di σ dà varianza 1/σ², non 1.
Si divide per σ, non per σ²: Z = (X − µ)/σ. L'opzione con σ² è il distrattore fisso del quiz.
Media 0 + varianza 1 ⟒ Normale: standardizzata non significa gaussiana; la forma resta quella di X.
Lo z-score ha un segno: positivo sopra la media, negativo sotto. Il confronto di «centralità» usa il valore assoluto.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 25. Standardizzazione di una Variabile Casuale, dispensa pdf/25.pdf, 17 pagine fisiche. Motivazioni: pagg. 2–3; v.c. standardizzata: pagg. 4–8; momenti standardizzati: pagg. 9–11; quiz: pagg. 15–17. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 266–267.