Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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F = (X₁/g₁)/(X₂/g₂), con X₁ ∼ χ²(g₁) e X₂ ∼ χ²(g₂) indipendenti.
1/X ∼ F(g₂, g₁): si scambiano i gradi di libertà.
g₂/(g₂ − 2), per g₂ > 2: dipende solo dai gradi del denominatore.
La F di Fisher (o di Fisher–Snedecor) è il rapporto tra due Chi-quadrato indipendenti, ciascuna divisa per i propri gradi di libertà: g₁ al numeratore, g₂ al denominatore. Supporto [0, +∞), asimmetrica positiva, famiglia molto eterogenea. Proprietà chiave: 1/X ∼ F(g₂, g₁), che permette di ottenere i quantili inferiori da quelli superiori. Tende alla Normale solo se g₁ e g₂ crescono insieme; se cresce solo g₂, tende a χ²(g₁)/g₁. Si usa nell'ANOVA e nei test F.
| Richiede | Lez. 48 (Chi-quadrato), lez. 49 (stessa logica dei rapporti) |
| Serve per | ANOVA, test F, confronto di varianze (Statistica); chiude il macroargomento 6 |
| Notazione | X ∼ F(g₁, g₂) oppure F_(g₁,g₂) |
| Definizione | X = (X₁/g₁)/(X₂/g₂), X₁ ∼ χ²_g₁, X₂ ∼ χ²_g₂ indipendenti |
| Supporto | S = [0, +∞) |
| Parametri | g₁ = gradi del numeratore; g₂ = gradi del denominatore |
| Media | g₂/(g₂ − 2), per g₂ > 2 |
| Varianza | 2g₂²(g₁ + g₂ − 2) / [g₁(g₂ − 2)²(g₂ − 4)], per g₂ > 4 |
| Forma | Asimmetrica positiva; moda in 0 se g₁ = 2, densità → ∞ in 0 se g₁ = 1 |
| Moda (g₁ > 2) | Mo = [(g₁ − 2)/g₁]·[g₂/(g₂ + 2)] |
| Uso tipico | Analisi della varianza (ANOVA), test F |
Correzione: la formula della moda a pag. 6 del PDF è scritta in modo errato; quella in tabella è la forma standard.
| Reciproco | X ∼ F(g₁, g₂) ⟹ 1/X ∼ F(g₂, g₁) |
| Quantili scambiati | Pr(F_(g₁,g₂) ≤ q) = 1 − Pr(F_(g₂,g₁) ≤ 1/q) |
| Momenti | E(Xʳ) esiste solo per r < g₂/2 |
| Limiti | g₁, g₂ → ∞ insieme: Normale; solo g₂ → ∞: χ²(g₁)/g₁ |
Le tre famiglie derivate dalla Normale (lez. 48–50):
| V.c. | Costruzione | Parametri | Limite |
|---|---|---|---|
| χ²_g | Σ Zᵢ² | g | N(g, 2g) |
| T_g | Z / √(χ²_g/g) | g | N(0, 1) |
| F_(g₁,g₂) | (χ²_g₁/g₁)/(χ²_g₂/g₂) | g₁, g₂ | Normale (g₁, g₂ → ∞) |
Lettura della tavola (pagg. 9–10): ogni tavola vale per UN solo α (di solito 0,05 o 0,01); riga e colonna danno g₁ e g₂; la cella è il quantile. Esempio: g₁ = 8, g₂ = 5, α = 0,05 → Pr(X ≥ 4,82) = 0,05. Gradi non tabulati → interpolazione.
Prova tu: X ∼ F(8, 5): che distribuzione ha 1/X? Media di X? Soluzione sotto.
Soluzione: 1/X ∼ F(5, 8); E(X) = 5/3 ≈ 1,67.
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 50. Variabile Casuale F di Fisher, dispensa pdf/50.pdf, 15 pagine fisiche. Storia: pag. 2; definizione: pagg. 3–4; momenti e proprietà: pagg. 5–7; ripartizione e tavola: pagg. 8–10; conclusioni: pag. 11; quiz: pagg. 13–15. Quantile 4,82 e formula della moda verificati.