Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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T = Z / √(Y/g), con Z ∼ N(0, 1) e Y ∼ χ²(g) indipendenti.
Stessa forma simmetrica in 0, ma code più pesanti; la differenza sparisce per g → ∞.
g/(g − 2), per g > 2: sempre maggiore di 1, tende a 1.
La T di Student T_g (Gosset, 1908, birreria Guinness) è il rapporto tra una Normale standard e la radice di una Chi-quadrato indipendente divisa per i suoi g gradi di libertà. Supporto ℝ, simmetrica in 0 (media = moda = mediana = 0), varianza g/(g−2), code più pesanti della Z (leptocurtica: γ₂ = 3 + 6/(g−4)). Per g → ∞ tende alla N(0, 1); in pratica per g > 30 si usa la Z, altrimenti la tavola della T. Con g = 1 è la v.c. di Cauchy.
| Richiede | Lez. 43 (Z), lez. 48 (Chi-quadrato) |
| Serve per | Test T e intervalli con varianza ignota (Statistica); lez. 50 (F: T_g² ∼ F(1, g)) |
| Notazione | X ∼ T(g) oppure T_g, g gradi di libertà |
| Definizione | X = Z / √(Y/g), Z ∼ N(0,1), Y ∼ χ²_g, indipendenti |
| Supporto | S = ℝ |
| Densità | f(x) = Γ((g+1)/2) / (√(πg)·Γ(g/2)) · (1 + x²/g)^(−(g+1)/2) |
| Media = moda = mediana | 0 (la media esiste per g > 1) |
| Varianza | g/(g − 2), per g > 2 |
| Asimmetria / curtosi | γ₁ = 0; γ₂ = 3 + 6/(g − 4), per g > 4 |
| Flessi | x = ±√(g/(g + 2)) |
| Uso tipico | Test T di Student; con g = 1 è la Cauchy |
| Limite | g → ∞: Y/g → 1, quindi T_g → Z ∼ N(0, 1) |
| Approssimazione | per g > 30 si usano le tavole della Z |
| Da due Chi-quadrato | X, Y ∼ χ²_g indipendenti ⟹ √g(X − Y)/(2√(XY)) ∼ T_g |
| Momenti pari | E(X²ʳ) esiste solo per r < g/2 |
T di Student vs Normale standard:
| Aspetto | T_g | Z ∼ N(0, 1) |
|---|---|---|
| Centro | 0 | 0 |
| Varianza | g/(g−2) > 1 | 1 |
| Code | Più pesanti (γ₂ > 3) | γ₂ = 3 |
| Quantile al 2,5% superiore | 2,179 (g = 12) | 1,96 |
Lettura della tavola (pag. 10): riga = gradi di libertà; colonna = α = Pr(T > q_α); cella = q_α. Esempio con g = 12: Pr(T ≥ 1,782) = 0,05 e Pr(T ≤ −2,179) = 0,025.
Prova tu: varianza di T₁₀? E di T₁₀₀? Soluzione sotto.
Soluzione: 10/8 = 1,25; 100/98 ≈ 1,02 (vicina alla Z).
Errore della dispensa (pag. 8): è scritto che i momenti PARI sono nulli e che i DISPARI sono «Varianza e Curtosi». È il contrario: per la simmetria sono nulli i momenti dispari (media, asimmetria); varianza e curtosi sono momenti pari.
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 49. Variabile Casuale T di Student, dispensa pdf/49.pdf, 15 pagine fisiche. Storia: pag. 2; definizione: pagg. 3–6; momenti: pag. 7; ripartizione e tavola: pagg. 8–10; conclusioni: pag. 11; quiz: pagg. 13–15. Quantili 1,782 e 2,179 verificati.