Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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Sommando i quadrati di g Normali standard indipendenti: χ² = Z₁² + … + Z_g².
E(X) = g; Var(X) = 2g.
La forma diventa simmetrica e la χ²(g) tende a una N(g, 2g).
La Chi-quadrato χ²(g) è la somma dei quadrati di g Normali standard indipendenti; g si chiama grado di libertà. Supporto [0, +∞), media g, varianza 2g, sempre asimmetrica positiva (γ₁ = √(8/g)) e leptocurtica (γ₂ = 3 + 12/g). È riproduttiva: la somma di Chi-quadrato indipendenti è una Chi-quadrato con g sommati. Per g grande tende a N(g, 2g). La ripartizione non ha forma esplicita: si usano le tavole dei quantili.
| Richiede | Lez. 43 (Normale standard Z), lez. 26 (asimmetria e curtosi) |
| Serve per | Lez. 49 (T di Student), lez. 50 (F di Fisher), test di indipendenza su tabelle di contingenza (Statistica) |
| Notazione | X ∼ χ²(g) oppure χ²_g, g ∈ ℕ, g ≥ 1 |
| Definizione | X = Σᵢ₌₁ᵍ Zᵢ², Zᵢ ∼ N(0, 1) indipendenti |
| Supporto | S = [0, +∞) |
| Densità | f(x) = x^(g/2 − 1)·e^(−x/2) / (2^(g/2)·Γ(g/2)), x ≥ 0 |
| Media | g |
| Varianza | 2g |
| Asimmetria / curtosi | γ₁ = √(8/g) > 0; γ₂ = 3 + 12/g |
| Moda / mediana (g > 2) | Mo = g − 2; Me ≈ g − 2/3 |
| Uso tipico | Test χ² di indipendenza (Pearson, 1900) |
| Riproducibilità | Xᵢ ∼ χ²(gᵢ) indipendenti ⟹ ΣXᵢ ∼ χ²(g₁ + … + g_m) |
| Momenti di Z² | E(Z²) = 1; Var(Z²) = E(Z⁴) − 1 = 3 − 1 = 2 |
| Generatrice | G(t) = (1 − 2t)^(−g/2), t < 1/2 |
| Limite | g → ∞: χ²(g) ≈ N(g, 2g) |
Perché media g e varianza 2g (pag. 11): ogni Zᵢ² ha media 1 e varianza 2. Per somma di v.c. indipendenti: E = 1 + … + 1 = g; Var = 2 + … + 2 = 2g. Per il teorema del limite centrale la somma, al crescere di g, diventa Normale.
Forma della densità al variare di g (pag. 7):
| Gradi di libertà | Forma | Moda |
|---|---|---|
| g ≤ 2 | Decrescente da 0 | 0 |
| g > 2 | Picco intermedio, coda destra lunga | g − 2 |
| g → ∞ | Simmetrica, campana N(g, 2g) | ≈ g |
Lettura della tavola (pag. 10): riga = gradi di libertà; colonna = α = Pr(χ²_g > q_α); cella = quantile q_α. Esempio: g = 10, α = 0,05 → q = 18,31, cioè Pr(χ²₁₀ ≥ 18,307) = 0,05.
Prova tu: X₁ ∼ χ²(3) e X₂ ∼ χ²(5) indipendenti: distribuzione, media e varianza di X₁ + X₂? Soluzione sotto.
Soluzione: χ²(8); media 8; varianza 16.
Note sulla dispensa: la didascalia della Figura 1 scrive «v.c. Normale» invece di Chi-quadrato; a pag. 7 «Mo − g − 2» va letto Mo = g − 2; Γ(·) è la funzione Gamma (completa), non «Gamma incompleta».
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 48. Variabile Casuale Chi-quadrato, dispensa pdf/48.pdf, 15 pagine fisiche. Storia: pag. 2; definizione: pagg. 3–5; momenti: pagg. 6–7; proprietà e tavola: pagg. 8–10; conclusioni: pag. 11; quiz: pagg. 13–15. Quantile 18,307 verificato.