Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità — dispensa di esercizi
0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere
1) Identifica cause Hᵢ, prior ed effetto E; 2) scrivi le verosimiglianze; 3) calcola il denominatore Pr(E) con la legge delle probabilità totali; 4) dividi ogni prodotto prior × verosimiglianza per Pr(E).
No: con prevalenza 1 su 10.000 e falsi positivi all'1%, Pr(virus|positivo) ≈ 1%. Il prior minuscolo domina.
Lezione di esercizi svolti sul teorema di Bayes: diagnosi tra malattie, dado che sceglie l'urna, test su un virus raro. Lo schema è sempre lo stesso — prior, verosimiglianze, denominatore con le probabilità totali, divisione — e il messaggio ricorrente è che l'osservazione ribalta la gerarchia delle cause, ma un prior molto piccolo resta difficile da ribaltare.
| Richiede | Lez. 14 (teorema e componenti), lez. 11 (probabilità totali) |
| Serve per | Il quiz d'esame: questi tre schemi (diagnosi, urne, test raro) coprono quasi tutte le domande numeriche su Bayes |
I concetti sono quelli della lez. 14; qui si aggiunge il vocabolario degli esercizi.
| Termine | Definizione breve | Nell'esercizio |
|---|---|---|
| Falso positivo | Il test segnala il virus in chi non lo ha: Pr(T₁|V₀) | 1% nel terzo esercizio |
| Sensibilità del test | Capacità di individuare correttamente il virus: Pr(T₁|V₁) | 98% nel terzo esercizio |
| Ribaltamento della gerarchia | L'ordine delle cause per probabilità a priori può invertirsi dopo l'osservazione | Urne: U₂ passa da 0,50 a 0,14; U₁ da 0,17 a 0,41 |
| Bayes semplificato | Pr(Hᵢ|E) = Pr(Hᵢ)·Pr(E|Hᵢ) / Pr(E) (pag. 2) |
| Denominatore | Pr(E) = Σⱼ Pr(Hⱼ)·Pr(E|Hⱼ) (pag. 2) |
| Controllo finale | Le a posteriori devono sommare a 1 |
1. Diagnosi clinica (pagg. 4–6). Tre malattie: prior 0,03 / 0,70 / 0,27; verosimiglianze del sintomo 0,90 / 0,10 / 0,30. Denominatore: somma dei prodotti. A priori la più probabile era H₂; dato il sintomo, la graduatoria cambia. Morale: si moltiplica prior × verosimiglianza, non si guarda solo una delle due.
2. Dado + urne (pagg. 7–8). D₁ → U₁ (9B, 1N); D₂∪D₃∪D₄ → U₂ (1B, 9N); D₅∪D₆ → U₃ (5B, 5N). Probabilità totali: Pr(B) = 1/6·9/10 + 3/6·1/10 + 2/6·5/10 = 11/30 ≈ 0,367. Bayes all'indietro: Pr(U₁|B) = 9/22 ≈ 0,41; Pr(U₂|B) = 3/22 ≈ 0,14; Pr(U₃|B) = 10/22 ≈ 0,45. La pallina bianca stravolge la gerarchia delle urne.
3. Virus raro (pagg. 9–11). Prevalenza 0,00001; sensibilità 98%; falsi positivi 1%. Pr(V₁|T₁) = 0,00001·0,98 / (0,00001·0,98 + 0,99999·0,01) ≈ 0,001. Test positivo, eppure virus quasi certamente assente: il prior rarissimo domina il risultato.
Prova tu: rifai il calcolo con prevalenza 0,0001 (come nel quiz). Soluzione sotto.
Soluzione: 0,0001·0,98 / (0,0001·0,98 + 0,9999·0,01) ≈ 0,0097 ≈ 1%.
Domande originali della dispensa (pagg. 12–14), tutte numeriche. Scegli una risposta: ricevi subito esito, calcolo e pagina.
Fonte. Lucio Palazzo, 15. Esercizi (teorema di Bayes), dispensa pdf/15.pdf, 14 pagine fisiche. Richiami: pagg. 2–3; esercizio clinico: pagg. 4–6; dado e urne: pagg. 7–8; virus raro: pagg. 9–11; quiz: pagg. 12–14. Tutti i risultati numerici dei quiz sono stati ricalcolati in modo indipendente. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 221–228.