Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità — dispensa di esempi
0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere
b/(b+n), identica a ogni estrazione: l'urna non cambia mai.
Pr(B₁)·Pr(N₂|B₁) = b/(b+n) · n/(b+n−1): dopo la prima estrazione l'urna ha un elemento in meno.
1 − Pr(nessuna bianca): la negazione evita di sommare tre casi.
Lezione di esempi svolti sulle urne, con lo schema operativo in 7 passi che riconduce ogni problema al calcolo di una probabilità: individua la prova, assegna le probabilità elementari, controlla i postulati, esprimi E con unione/intersezione/negazione, applica la formula giusta (incompatibili? indipendenti?), condiziona se le sottoprove non sono indipendenti, verifica la coerenza del risultato.
| Richiede | Lez. 10 (condizionata), lez. 11 (indipendenza), lez. 12 (equiprobabilità), lez. 13 (conteggi) |
| Serve per | Macroargomento 6: le urne sono il modello delle v.c. Bernoulli, Binomiale e Ipergeometrica |
| Termine | Definizione breve | Esempio |
|---|---|---|
| Classe di Borel B | La classe degli eventi generati dalla prova: ogni evento di cui si può calcolare la probabilità vi appartiene e si esprime con negazioni, unioni e intersezioni di elementari | «Almeno una bianca» = unione di tre intersezioni |
| Probabilità della sequenza | Probabilità di un ordine preciso di esiti: prodotto delle probabilità (condizionate, se senza ripetizione) | Pr(B₁∩B₂∩N₃) = b/(b+n) · b/(b+n) · n/(b+n) |
| Probabilità dell'evento «composizione» | Somma delle probabilità di tutte le sequenze che realizzano la composizione richiesta | «Colori diversi» = Pr(B₁∩N₂) + Pr(N₁∩B₂) |
| Caso (urna b bianche, n nere) | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Con ripetizione, una estrazione | Pr(B) = b/(b+n) | 4 |
| Con ripetizione, sequenza | Prodotto delle probabilità fisse | 4–5 |
| Senza ripetizione, sequenza | Prodotto con denominatori decrescenti: b/(b+n) · n/(b+n−1) … | 5 |
| Seconda estratta bianca (in blocco) | Pr = b/(b+n): identica alla prima, se non si conosce l'esito precedente | 11 |
Lo schema operativo in 7 passi (pagg. 2–3) — la procedura per qualsiasi esercizio:
Esempio svolto (esempi 16.3–16.6; urna 3B, 7N, due estrazioni in blocco): le 4 sequenze formano una partizione non equiprobabile. Pr(N₁∩B₂) = 7/10 · 3/9 ≈ 0,233; «colori diversi» = 0,233 + 0,233 = 7/15; «stesso colore» = 3/10·2/9 + 7/10·6/9 = 8/15; «almeno una bianca» = somma di tre sequenze = 8/15. Controllo di coerenza (passo 7): 7/15 + 8/15 = 1.
Prova tu (urna 4B, 2R del quiz): Pr(nessuna rossa) su due estrazioni senza ripetizione? Soluzione sotto.
Soluzione: 4/6 · 3/5 = 0,40.
Il risultato sottile della lezione (pag. 11): in blocco, Pr(«seconda bianca») = b/(b+n) = Pr(«prima bianca») — se non conosci l'esito della prima. Scommettere sulla prima o sulla seconda è indifferente; è l'informazione sull'esito precedente a cambiare le probabilità, non la posizione.
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15), urna con 4 bianche e 2 rosse. Scegli una risposta: ricevi subito esito, calcolo e nota.
Fonte. Lucio Palazzo, 16. Esempi (estrazioni da urne), dispensa pdf/16.pdf, 15 pagine fisiche. Schema in 7 passi: pagg. 2–3; esempi classici: pagg. 4–5; esempi 16.3–16.7: pagg. 6–11; quiz: pagg. 13–15. Risultati numerici ricalcolati in modo indipendente; per le domande 1–4 vedi la nota nel feedback. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 221–228.