Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità
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Con {Hᵢ} partizione di Ω: Pr(Hᵢ|E) = Pr(Hᵢ)·Pr(E|Hᵢ) / Σⱼ Pr(Hⱼ)·Pr(E|Hⱼ).
Pr(Hᵢ|E) a posteriori; Pr(Hᵢ) a priori; Pr(E|Hᵢ) verosimiglianza. Il denominatore Pr(E) è la costante di normalizzazione.
Osservato un effetto E, risalire alla causa Hᵢ più probabile tra quelle possibili.
Il teorema di Bayes nasce dalla legge delle probabilità totali e risolve il problema inverso: dato un effetto osservato E con m possibili cause Hᵢ, calcola la probabilità che abbia agito ciascuna causa. Schema: a posteriori ∝ a priori × verosimiglianza. È la pietra fondante della statistica bayesiana, che aggiorna le convinzioni al crescere dei dati.
| Richiede | Lez. 10 (condizionata), lez. 11 (legge delle probabilità totali, partizioni) |
| Serve per | Lez. 15 (esercizi svolti su Bayes), lez. 4 ripresa: frequentista vs soggettivista |
| Termine | Definizione breve | Esempio (diagnosi) | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Probabilità a priori Pr(Hᵢ) | Probabilità note delle possibili cause, prima di osservare l'effetto | Quanto è diffusa ogni malattia | La probabilità della malattia dato il sintomo |
| Verosimiglianza Pr(E|Hᵢ) | Probabilità condizionata di osservare l'effetto data una causa | Quanto spesso la malattia Hᵢ produce il sintomo E | Pr(Hᵢ|E): quello è il risultato, non l'input |
| Probabilità a posteriori Pr(Hᵢ|E) | Probabilità che, osservato E, esso sia stato generato dalla causa Hᵢ | La diagnosi: malattia più plausibile dato il sintomo | Una probabilità fissata prima dei dati |
| Costante di normalizzazione Pr(E) | Il denominatore Σⱼ Pr(Hⱼ)Pr(E|Hⱼ): uguale per ogni i, fa sommare a 1 le a posteriori | La probabilità totale del sintomo | Una verosimiglianza |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Teorema di Bayes | Pr(Hᵢ|E) = Pr(Hᵢ)·Pr(E|Hᵢ) / Σⱼ Pr(Hⱼ)·Pr(E|Hⱼ) | 4 |
| Forma semplificata | Pr(Hᵢ|E) = Pr(Hᵢ)·Pr(E|Hᵢ) / Pr(E) | 4 |
| Proporzionalità | Pr(Hᵢ|E) ∝ Pr(Hᵢ)·Pr(E|Hᵢ) | 7 |
| Chiusura | Σᵢ Pr(Hᵢ|E) = 1 | 5 |
La dimostrazione in due mosse (pagg. 4–5): 1) definizione di condizionata: Pr(Hᵢ|E) = Pr(Hᵢ∩E)/Pr(E) = Pr(Hᵢ)Pr(E|Hᵢ)/Pr(E); 2) legge delle probabilità totali sul denominatore: Pr(E) = Σⱼ Pr(Hⱼ)Pr(E|Hⱼ). Fine. La forza del teorema è tutta nell'interpretazione causa–effetto.
Frequentista vs bayesiano (pagg. 8–11):
| Criterio | Frequentista | Bayesiano |
|---|---|---|
| La probabilità è | Frequenza su molte prove ripetute | Convinzione quantificata, aggiornabile |
| Moneta truccata | 1500 lanci e si guarda la proporzione | Si parte da «onesta», 8 teste di fila spostano la convinzione |
| Evento irripetibile (elezione) | Prove «virtuali» simulate | Prior personale + aggiornamento con i nuovi dati |
| Limiti | Serve poter replicare | Prior soggettive; costo computazionale (rinato con MCMC) |
Il paradosso dei due bambini (pagg. 13–15): «Mr. Smith ha due figli, almeno uno è maschio»: Pr(entrambi maschi) non è 1/2 ma 1/3, perché Ω ristretto = {MM, MF, FM}. Con Bayes: Pr(M|F) = (2/4)/(3/4) = 2/3 per «l'altro è femmina». L'informazione «almeno uno» ristruttura lo spazio.
Campi di applicazione (pag. 12): diagnosi mediche, scienze giuridiche, process tracing, filtri antispam.
Domande originali della dispensa (pagg. 18–20). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 14. Teorema di Bayes, dispensa pdf/14.pdf, 20 pagine fisiche. Storia: pagg. 2–3; teorema e dimostrazione: pagg. 4–5; interpretazione: pagg. 6–7; frequentista vs bayesiano: pagg. 8–11; applicazioni: pag. 12; paradosso: pagg. 13–15; quiz: pagg. 18–20. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 221–228.