Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità

Lezione 11. Indipendenza ed incompatibilità

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quando due eventi sono indipendenti?

Quando Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B): il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro.

Due eventi incompatibili possono essere indipendenti?

Mai, a meno che uno abbia probabilità zero: escludersi a vicenda è una forma fortissima di dipendenza.

Che cosa dice la legge delle probabilità totali?

Data una partizione {Eᵢ} di Ω: Pr(A) = Σᵢ Pr(A∩Eᵢ) = Σᵢ Pr(A|Eᵢ)·Pr(Eᵢ).

1 · In 30 secondi

Due eventi sono indipendenti se Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B), cioè se Pr(B|A) = Pr(B): nessuno dei due «aggiorna» l'altro. Da non confondere con l'incompatibilità (A∩B = ∅), che agisce sugli eventi e serve per le unioni. La legge delle probabilità totali ricostruisce Pr(A) tagliando A lungo una partizione di Ω.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 10 (condizionata), lez. 8 (incompatibilità, partizioni)
Serve per	Lez. 14 (Bayes, costruito sulla legge delle probabilità totali), lez. 39 (prove indipendenti ripetute)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Eventi indipendenti	Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B); relazione simmetrica, agisce sulle probabilità	Due estrazioni con ripetizione	Due estrazioni senza ripetizione
Eventi incompatibili	A∩B = ∅; relazione che agisce sugli eventi, visibile su Venn	«Pari» e «dispari» nel dado	Due eventi indipendenti con probabilità positive
Legge delle probabilità totali	Con {Eᵢ} partizione di Ω: Pr(A) = Σᵢ Pr(A\|Eᵢ)·Pr(Eᵢ)	A «tagliato» in 5 fette dalla partizione (Figura 1 del PDF)	Una somma su eventi che non coprono Ω

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Indipendenza (definizione 1)	Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B)	3
Conseguenza sulla condizionata	Pr(B\|A) = Pr(B); Pr(A\|B) = Pr(A)	4
Estensione a n eventi	Pr(E₁∩…∩Eₙ) = Pr(E₁)···Pr(Eₙ)	4
Teorema 1 (complementi)	A, B indipendenti ⟹ anche Ā e B, A e B̄, Ā e B̄	3
Intersezione senza indipendenza	Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B\|A)	6
Probabilità totali (teorema 2)	Pr(A) = Σᵢ Pr(A∩Eᵢ) = Σᵢ Pr(A\|Eᵢ)·Pr(Eᵢ)	7

5 · Cuore della lezione

Incompatibilità vs indipendenza (pagg. 5–6) — il confronto che il quiz ama:

Criterio	Incompatibilità	Indipendenza
Agisce su	Eventi: A∩B = ∅	Probabilità: Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)
Serve per	Unioni (somma delle probabilità)	Intersezioni (prodotto delle probabilità)
Su Venn	Rappresentabile (cerchi separati)	Non rappresentabile
Insieme?	Mai insieme, salvo probabilità nulla: incompatibili ⟹ dipendenti

Perché incompatibili ⟹ dipendenti (pag. 6): se A∩B = ∅ e fossero anche indipendenti, allora 0 = Pr(∅) = Pr(A∩B) = Pr(A)·Pr(B): possibile solo se almeno una delle due probabilità è zero. Sapere che A è accaduto dice con certezza che B non accadrà: è il massimo della dipendenza.

Gli schemi riassuntivi (pag. 6): incompatibili → Pr(A∪B) = Pr(A)+Pr(B), altrimenti sottrai l'intersezione; indipendenti → Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B), altrimenti Pr(A)·Pr(B|A).

6 · Trappole

Incompatibile non è sinonimo di indipendente: è quasi il contrario. L'incompatibilità è dipendenza totale.
Unione ↔ incompatibilità, intersezione ↔ indipendenza. Ogni proprietà semplifica l'operazione giusta, non l'altra.
L'indipendenza non si vede su Venn: è una relazione tra numeri, non tra regioni del piano.
Nella legge delle probabilità totali gli Eᵢ devono essere non nulli; le intersezioni A∩Eᵢ possono invece essere vuote.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 11–13). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 11. Indipendenza ed incompatibilità, dispensa pdf/11.pdf, 13 pagine fisiche. Indipendenza: pagg. 3–4; confronto: pagg. 5–6; probabilità totali: pagg. 7–8; quiz: pagg. 11–13. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 209–210.