Lezione 24. La Varianza

1 · In 30 secondi

I momenti centrali mₖ = E[(X − µ)ᵏ] misurano la distribuzione attorno alla media. Per k = 2 si ottiene la varianza σ² = Var(X): l'indice di dispersione. È sempre ≥ 0 (zero solo per v.c. degeneri), le costanti moltiplicative escono al quadrato, e la somma di varianze vale solo per v.c. indipendenti. Formula operativa: Var(X) = E(X²) − µ².

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 23 (momenti, media, scarto)
Serve per	Lez. 25 (standardizzazione), lez. 28 (Čebyšëv), lez. 30 (scarto quadratico medio)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Momento centrale di ordine k	mₖ = E[(X − µ)ᵏ]: il momento di ordine k della v.c. scarto	m₂ = varianza	µₖ = E(Xᵏ) (momento «semplice»)
Indice di variabilità	Misura sintetica di quanto i valori distano da un centro di riferimento	Varianza, scarto quadratico medio	La media (indice di posizione)
Varianza σ² = Var(X)	m₂ = E[(X − µ)²]: dispersione media quadratica attorno alla media	Dado: 2,92	La deviazione standard σ (la sua radice)
V.c. degenere	Assume un solo valore c con probabilità 1: l'unico caso con varianza nulla	«Vinci sempre 1 €»	Una v.c. simmetrica qualsiasi

Termine

Definizione breve

Esempio

Non-esempio

Momento centrale di ordine k

mₖ = E[(X − µ)ᵏ]: il momento di ordine k della v.c. scarto

m₂ = varianza

µₖ = E(Xᵏ) (momento «semplice»)

Indice di variabilità

Misura sintetica di quanto i valori distano da un centro di riferimento

Varianza, scarto quadratico medio

La media (indice di posizione)

Varianza σ² = Var(X)

m₂ = E[(X − µ)²]: dispersione media quadratica attorno alla media

Dado: 2,92

La deviazione standard σ (la sua radice)

V.c. degenere

Assume un solo valore c con probabilità 1: l'unico caso con varianza nulla

«Vinci sempre 1 €»

Una v.c. simmetrica qualsiasi

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Momenti centrali	mₖ = Σ (x−µ)ᵏpₓ; ∫ (x−µ)ᵏf(x)dx	3
Casi banali	m₀ = 1; m₁ = 0 (proprietà dello scarto)	5
Varianza	Var(X) = E[(X − µ)²]	5–6
Non negatività	Var(X) ≥ 0; = 0 ⟺ X degenere	9
Costanti	Var(cX) = c²Var(X); invariante per traslazione	9
Somma (se indipendenti)	Var(αX ± βY) = α²Var(X) + β²Var(Y)	10
Teorema 1 (formula rapida)	Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = µ₂ − µ²	10

Nome

Formula

Pagina

Momenti centrali

mₖ = Σ (x−µ)ᵏpₓ; ∫ (x−µ)ᵏf(x)dx

Casi banali

m₀ = 1; m₁ = 0 (proprietà dello scarto)

Varianza

Var(X) = E[(X − µ)²]

5–6

Non negatività

Var(X) ≥ 0; = 0 ⟺ X degenere

Costanti

Var(cX) = c²Var(X); invariante per traslazione

Somma (se indipendenti)

Var(αX ± βY) = α²Var(X) + β²Var(Y)

Teorema 1 (formula rapida)

Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = µ₂ − µ²

5 · Cuore della lezione

Operazione	Media	Varianza
Costante moltiplicativa	E(cX) = cE(X)	Var(cX) = c²Var(X)
Traslazione	E(X + c) = µ + c	Var(X + c) = Var(X): invariante
Somma di v.c.	Sempre: E(X±Y) = E(X)±E(Y)	Solo se indipendenti: Var(X±Y) = Var(X)+Var(Y)
Segno nel ± della somma	Si conserva	Diventa sempre +: anche Var(X−Y) somma le varianze

Operazione

Media

Varianza

Costante moltiplicativa

E(cX) = cE(X)

Var(cX) = c²Var(X)

Traslazione

E(X + c) = µ + c

Var(X + c) = Var(X): invariante

Somma di v.c.

Sempre: E(X±Y) = E(X)±E(Y)

Solo se indipendenti: Var(X±Y) = Var(X)+Var(Y)

Segno nel ± della somma

Si conserva

Diventa sempre +: anche Var(X−Y) somma le varianze

Esempio svolto in due modi (esempi 24.2 e 24.5): dado onesto, µ = 3,5. Via diretta: media dei quadrati degli scarti = 17,5/6 = 2,92. Via rapida: µ₂ = 91/6 = 15,16…, quindi Var = 15,16 − 12,25 = 2,92. Due strade, stesso numero: controllo di coerenza incorporato.

Per la continua f(x) = 2x su [0,1] (esempio 24.4): µ = 2/3, σ² = 1/18 ≈ 0,056 (la dispensa arrotonda a 0,05).

6 · Trappole

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 24. Momenti di una V.C.: La Varianza, dispensa pdf/24.pdf, 17 pagine fisiche. Momenti centrali: pagg. 2–4; varianza: pagg. 5–8; proprietà: pagg. 9–11; quiz: pagg. 15–17. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 265–266.