Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti

Lezione 28. La disuguaglianza di Čebyšëv

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa dice la disuguaglianza di Čebyšëv?

Pr(|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1/k²: la probabilità di stare lontani dalla media più di k deviazioni standard è al massimo 1/k², qualunque sia la distribuzione.

Quanto garantisce la regola dei sigma con k = 2?

Almeno il 75% dei valori entro 2 deviazioni standard dalla media (1 − 1/4).

Čebyšëv dà la probabilità esatta?

No: dà solo un limite (inferiore o superiore). È il prezzo di non richiedere ipotesi sulla distribuzione.

1 · In 30 secondi

Il ponte tra momenti e probabilità: il teorema di Markov (Pr(X ≥ ε) ≤ µ/ε per v.c. positive) e, da esso, la disuguaglianza di Čebyšëv: Pr(|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1/k². Bastano media e varianza, nessuna ipotesi sulla forma. Il rovescio: fornisce limiti, non valori esatti. La regola dei σ ne fissa i casi d'uso: almeno 75% entro 2σ, 89% entro 3σ, 93% entro 4σ.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 23 (media), lez. 24 (varianza), lez. 30 per σ
Serve per	Lez. 52 (legge dei grandi numeri: si dimostra proprio con Čebyšëv); confronto con la regola 68-95-99,7 della Normale (lez. 43)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Teorema di Markov	Per X > 0 con media finita: Pr(X ≥ ε) ≤ µ/ε, ∀ε > 0	Base della dimostrazione di Čebyšëv	Richiede X positiva: non vale per v.c. qualsiasi
Disuguaglianza di Čebyšëv	Pr(\|X−µ\| ≥ kσ) ≤ 1/k²; equivalente: Pr(\|X−µ\| ≤ kσ) ≥ 1 − 1/k²	k = 4,47 → intervallo al 95%	Una probabilità esatta
Regola dei σ	Valori «di comodo» di k per letture rapide: 2σ → 75%, 3σ → 89%, 4σ → 93%	Individuare valori «estremi»	La regola 68-95-99,7 (quella vale solo per la Normale)

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Markov	X > 0 ⟹ Pr(X ≥ ε) ≤ µ/ε	3
Čebyšëv (coda)	Pr(\|X − µ\| ≥ kσ) ≤ 1/k²	4
Čebyšëv (centro)	Pr(\|X − µ\| ≤ kσ) ≥ 1 − 1/k²	4
Forma a intervallo	Pr(µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 − 1/k²	6
k da probabilità	1 − 1/k² = p ⟹ k = 1/√(1−p)	7

5 · Cuore della lezione

La regola dei σ (pagg. 8–9):

k	Garanzia minima entro ±kσ	Nota
1	≥ 0%	Nessuna informazione utile
2	≥ 75%	1 − 1/4
3	≥ 89%	1 − 1/9
4	≥ 93%	1 − 1/16

Esempio svolto (esempio 28.1, pag. 7): altezze con µ = 175,4 cm e σ = 4,4 cm; si vuole un intervallo che contenga almeno il 95% dei valori. Da 1 − 1/k² = 0,95: k = √20 = 4,47. Intervallo: [175,4 − 4,47·4,4; 175,4 + 4,47·4,4] = [155,7; 195,1] cm. Prova tu: quale k serve per il 90%? Soluzione sotto.

Soluzione: k = √10 = 3,16.

Il compromesso (pag. 6): Čebyšëv chiede pochissimo (solo µ e σ) e in cambio dà poco (un limite, spesso molto largo). Conoscendo la distribuzione si fa di meglio: per la Normale, entro 2σ non c'è «almeno il 75%» ma circa il 95%.

6 · Trappole

«Almeno», mai «esattamente»: 75% entro 2σ è un minimo garantito, non il valore vero.
Markov vuole X positiva, Čebyšëv no (lavora sul quadrato dello scarto).
≤ sulla coda, ≥ sul centro: attenzione al verso della disuguaglianza richiesto dal quiz.
Non confondere con la regola della Normale: 68-95-99,7 richiede la gaussiana; Čebyšëv vale sempre ma promette meno.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 28. Disuguaglianza di Cebicev, dispensa pdf/28.pdf, 15 pagine fisiche. Markov: pag. 3; Čebyšëv e dimostrazione: pagg. 4–6; esempio: pag. 7; regola dei σ: pagg. 8–9; quiz: pagg. 13–15. Valori k = 4,47 e 3,16 ricalcolati. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 267–268.