Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti

Lezione 30. Altre misure sintetiche di variabilità

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che differenza c'è tra varianza e scarto quadratico medio?

σ = √σ²: lo scarto quadratico medio è la radice della varianza, e ha la stessa unità di misura dei dati.

A cosa serve il coefficiente di variazione?

CV = σ/|µ|: numero puro e normalizzato, per confrontare la dispersione di v.c. con unità o medie diverse.

Che cosa misura la differenza interquartile?

IQR = q₃ − q₁: l'ampiezza dell'intervallo centrale che raccoglie il 50% della probabilità.

1 · In 30 secondi

Quattro alternative alla varianza, ciascuna con un pregio: lo scarto quadratico medio σ (stessa unità dei dati), lo scarto medio assoluto δ = E(|X−µ|) (distanze senza quadrati), il coefficiente di variazione CV = σ/|µ| (numero puro, confronti tra scale diverse), la differenza interquartile IQR = q₃ − q₁ (robusta, individua i valori estremi).

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 24 (varianza), lez. 29 (quartili)
Serve per	Chiude il macroargomento 4; σ è il cuore delle lezioni su Čebyšëv (28) e sulla Normale (43–47)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Pregio	Limite
Scarto quadratico medio σ	√E[(X−µ)²]: radice della varianza	Stessa unità dei dati	Sensibile agli estremi
Scarto medio assoluto δ	E(\|X−µ\|): distanza media assoluta dalla media	Interpretazione diretta	Il valore assoluto è scomodo nei calcoli
Coefficiente di variazione CV	σ/\|µ\|, con µ ≠ 0: dispersione relativa, numero puro	Confronti tra unità/medie diverse	Inattendibile con scale arbitrarie (°C vs °F)
Differenza interquartile IQR	q₃ − q₁: ampiezza dell'intervallo centrale al 50%	Robusta; individua gli estremi	Ignora le code oltre i quartili

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Scarto quadratico medio	σ = √E[(X−µ)²] = √Var(X)	3
Scarto medio assoluto	δ = E(\|X−µ\|) = Σ\|x−µ\|pₓ; ∫\|x−µ\|f dx	5
Coefficiente di variazione	CV = σ/\|µ\|, µ ≠ 0	6
Differenza interquartile	IQR = q₃ − q₁	7

5 · Cuore della lezione

Esempi svolti sul dado (esempi 30.1–30.2): σ² = 2,92 → σ = √2,92 = 1,70; scarto medio assoluto δ = 2·(2,5 + 1,5 + 0,5)/6 = 1,5. Nota: senza il valore assoluto la «distanza media» sarebbe E(X−µ) = 0 — per questo serve |·|.

Esempio IQR (esempio 30.4): giorni per consumare un pacco di pasta, Me = 4, q₁ = 3, q₃ = 5 → IQR = 2. Una famiglia che impiega 1 giorno è «estrema e veloce» (1,5 IQR sotto la mediana); 5 giorni è un consumo mediano; 8 giorni è «estremo e lento» (2 IQR sopra). L'IQR dà un metro oggettivo per dire «estremo».

Perché il CV (esempio 30.3): lo scarto quadratico dei redditi in euro e in dollari è diverso; il loro CV è identico. Dividere per la media elimina scala e unità.

6 · Trappole

σ si confronta coi dati, σ² no: la varianza è in unità al quadrato.
Il CV usa |µ|: con µ = −5 e σ = 8, CV = 8/5 = 1,6 — positivo.
IQR = q₃ − q₁, non q₃ − q₂ né mediana ± qualcosa.
Lo scarto medio NON è E(X−µ) (che vale sempre 0): serve il valore assoluto.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito, calcolo e pagina.

Fonte. Lucio Palazzo, 30. Altre misure sintetiche di variabilità, dispensa pdf/30.pdf, 14 pagine fisiche. Scarto quadratico: pagg. 3–4; scarto assoluto: pag. 5; CV: pag. 6; IQR: pagg. 7–8; quiz: pagg. 12–14. Tutti i risultati numerici ricalcolati in modo indipendente. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 267–268.