Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 5: Variabili casuali multiple

Lezione 31. Variabili Casuali Multiple

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa distingue una v.c. multipla da una semplice?

Non interessa solo la distribuzione di ogni componente, ma la relazione tra le componenti: le probabilità congiunte.

Quando una v.c. multipla è «mista»?

Quando almeno una componente è di natura diversa dalle altre (es. altezza continua + età in anni discreta).

Quale grafico per due componenti continue? E per due discrete?

Continue: diagramma a dispersione. Discrete: tabella di contingenza e barre affiancate. Miste: boxplot per gruppi.

1 · In 30 secondi

Una v.c. multipla (multivariata) associa a ogni evento una m-upla ordinata di numeri reali (x₁, …, xₘ). Le Xᵢ sono le componenti. Lo scopo è studiare le probabilità congiunte, cioè le relazioni tra componenti. Secondo la natura delle componenti la v.c. è discreta, continua o mista, e ciascun tipo ha i suoi strumenti grafici.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 17 (v.c.), lez. 22 (congiunta e marginali: anteprima)
Serve per	Lez. 32 (multiple discrete), lez. 33 (multiple continue), lez. 34 (contingenza), lez. 35 (covarianza e correlazione)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
V.c. multipla	Funzione misurabile che associa a ogni evento un unico punto di ℝᵐ	Studente estratto: (69 kg, 175 cm, 23 anni)	Il solo peso dello studente
Componenti	Le v.c. semplici X₁, …, Xₘ che formano la multipla	X = peso, Y = altezza, Z = età	Le v.c. condizionate
Marginale di dimensione k	Sottoinsieme di k < m componenti; ogni componente è una marginale di dimensione 1	(peso, altezza) dalla terna	La terna intera
Multipla mista	Almeno una componente ha natura diversa dalle altre	Pressione (continua) × classe di età (discreta)	PIL × indice di Gini (entrambe continue)

4 · Formule essenziali

Notazione vettoriale	X = (X₁, X₂, …, Xₘ)′; doppie e triple: (X, Y), (X, Y, Z) (pag. 3)
Corrispondenza	E ∈ Ω ↦ (x₁, …, xₘ) ∈ ℝᵐ, funzione misurabile (pag. 3)

5 · Cuore della lezione

Tipo di v.c. doppia → strumento (pagg. 5–10):

Componenti	Esempio della dispensa	Strumento
Discreta × discreta	Abitudine al fumo × genere (es. 31.1)	Tabella di contingenza, barre affiancate
Continua × continua	PIL pro capite × indice di Gini (es. 31.2)	Diagramma a dispersione, correlazione
Continua × discreta (mista)	Pressione minima × classe di età (es. 31.3)	Boxplot condizionato per gruppi

Le tre domande di sempre (pag. 4): quando la v.c. multipla è nota? Quando è ben definita? Come si rappresenta? L'elemento che unifica discreto e continuo resta la funzione di ripartizione multivariata.

Monito della dispensa (es. 31.2): una relazione tra componenti non prova un nesso causa–effetto — «correlation is not causation».

6 · Trappole

Multipla non vuol dire «tutte continue» o «tutte discrete»: esistono le miste.
Età in classi è discreta anche se l'età vera è continua: conta come la variabile è rilevata.
Il boxplot è per i casi misti, lo scatterplot per i continui: abbina sempre grafico e natura delle componenti.
Le marginali non sono uguali tra loro: ogni componente ha la sua distribuzione.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 31. Variabili Casuali Multiple, dispensa pdf/31.pdf, 15 pagine fisiche. Concetti principali: pagg. 3–4; v.c. doppia ed esempi: pagg. 5–10; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 269–276.