Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 4: Momenti

Lezione 29. Altre misure sintetiche di posizione

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Moda, mediana, quantili: in una riga ciascuno?

Moda: il valore più probabile. Mediana: il valore che divide la distribuzione a metà. Quantile qα: il valore che lascia a sinistra una probabilità α.

Come si intuisce l'asimmetria da media e mediana?

Asimmetria a destra → media > mediana; a sinistra → media < mediana; simmetria → coincidono.

Quali quantili sono i quartili?

q₁ (α = 0,25), q₂ = mediana (α = 0,5), q₃ (α = 0,75).

1 · In 30 secondi

Oltre alla media, tre modi di «localizzare» una distribuzione: la moda (massimo della massa o della densità; può non esistere o non essere unica), la mediana (bipartisce la probabilità), i quantili (generalizzano la mediana: qα lascia α a sinistra; quartili, decili, percentili). Moda e mediana sono robuste ai valori estremi; la media no — ed è proprio il confronto media–mediana a rivelare l'asimmetria.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 21 (ripartizione), lez. 23 (media)
Serve per	Lez. 30 (differenza interquartile), lez. 44–47 (i quantili della Normale dalle tavole)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Moda Mo	Valore che massimizza la massa (discreta) o la densità (continua); può non esistere o non essere unica	Somma di due dadi: Mo = 7	Una distribuzione bimodale ha due mode
Mediana Me	Bipartisce la distribuzione; nel continuo F(Me) = 1/2	Uniforme [0,2]: Me = 1	La media (sensibile agli estremi)
Quantile qα	Minimo valore con F(qα) ≥ α (uguaglianza nel continuo)	q₀.₂₅ dell'Uniforme [0,4] = 1	Lo z-score (quello è una distanza)
Quartili / decili / percentili	Divisioni in 4, 10, 100 parti di pari probabilità; la mediana è q₂, il 5° decile, il 50° percentile	3° decile: α = 0,3	—

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Moda (discreta)	Mo = arg max pₓ	3
Moda (continua)	Mo = arg max f(x)	3
Mediana	Pr(X ≤ Me) ≥ 1/2 (= 1/2 nel continuo)	6
Quantile	qα = min{x : F(x) ≥ α}	8
Diagnosi di asimmetria	destra: µ > Me; sinistra: µ < Me; simmetria: µ = Me	7

5 · Cuore della lezione

I tre indici a confronto:

Criterio	Media	Mediana	Moda
Si calcola da	Momenti (valori × probabilità)	Ripartizione F	Massa / densità
Sensibile agli estremi	Sì, viene «attratta»	No	No
Esiste sempre	No (Cauchy)	Sì	Non sempre; può non essere unica

Esempi svolti del quiz, con calcolo: X su {1,2,3,4} con pₓ = x/10 → moda = 4 (probabilità massima 0,4); mediana = 3 (F(2) = 0,3 < 0,5 ≤ F(3) = 0,6); terzo decile = 2 (F(2) = 0,3 ≥ 0,3). Continua f(x) = 12x(1−x)² su [0,1] → moda: f′ = 12(1−x)(1−3x) = 0 in x = 1/3. Uniforme su [0,4] → F(x) = x/4: q₁ = 1, Me = 2, q₃ = 3.

6 · Trappole

La moda è il VALORE, non la sua probabilità: per pₓ = x/10 la moda è 4, non 0,4.
Nel discreto la mediana usa il ≥: il primo valore in cui F raggiunge o supera 0,5.
Decile ≠ valore decimale: il 3° decile è il quantile con α = 0,3, non «0,3».
q₀ e q₁ sono i casi banali: estremi del supporto (anche ±∞ se illimitato).

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 14–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito, calcolo e pagina.

Fonte. Lucio Palazzo, 29. Altre misure sintetiche di posizione, dispensa pdf/29.pdf, 16 pagine fisiche. Moda: pagg. 3–5; mediana: pagg. 6–7; quantili: pagg. 8–10; quiz: pagg. 14–16. Tutti i risultati numerici ricalcolati in modo indipendente. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 267–268.