Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 5: Variabili casuali multiple

Lezione 34. Tabelle di contingenza

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa indica nᵢⱼ in una tabella a doppia entrata?

La frequenza congiunta: quante unità hanno insieme la modalità i della prima variabile (riga) e la modalità j della seconda (colonna).

E nᵢ. e n.ⱼ?

Le frequenze marginali: totale di riga i e totale di colonna j. Il punto indica la componente già sommata.

Si può usare una tabella di contingenza con variabili continue?

Solo dopo averle discretizzate in classi o categorie; mai con valori continui grezzi.

1 · In 30 secondi

La tabella di contingenza visualizza la distribuzione congiunta di due o più variabili discrete. Con due variabili è una tabella a doppia entrata: celle interne = frequenze congiunte nᵢⱼ; totali di riga e colonna = frequenze marginali nᵢ. e n.ⱼ. Con tre variabili si annidano sotto-tabelle. Grafico tipico: barre affiancate (o sovrapposte).

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 32 (congiunte, marginali, condizionate discrete)
Serve per	Statistica descrittiva bivariata e test di associazione (oltre il corso)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio (tabella sotto)	Non-esempio
Frequenza congiunta nᵢⱼ	Conteggio delle unità con modalità xᵢ e yⱼ contemporaneamente	n₂,₁ = 44 (Femmina, Destra)	Un totale di riga
Frequenza marginale nᵢ.	Totale di riga: unità con modalità xᵢ, qualunque sia Y	n₁. = 62 (Maschi)	n₁,₁ = 43
Frequenza marginale n.ⱼ	Totale di colonna: unità con modalità yⱼ, qualunque sia X	n.₃ = 18 (Entrambe)	n₃. = 26 (quello è un totale di riga)
Totale condizionato	Totale calcolato fissando la modalità di una delle variabili	«Pena di morte No» dato vittima bianca: 108	Il totale generale n

4 · Formule essenziali

Marginale di riga	nᵢ. = Σⱼ nᵢⱼ
Marginale di colonna	n.ⱼ = Σᵢ nᵢⱼ
Totale	Σᵢ Σⱼ nᵢⱼ = Σᵢ nᵢ. = Σⱼ n.ⱼ = n
Numero di celle	righe × colonne (k × h)

5 · Cuore della lezione

La tabella guida (Tabella 1, pag. 3; i quiz usano questa):

Genere \ Mano	Destra	Sinistra	Entrambe	Tot.
Maschio	43	9	10	62
Femmina	44	4	5	53
Altro	20	3	3	26
Tot.	107	16	18	141

Nel PDF la riga «Altro» della Tabella 1 riporta 141 come totale: è un refuso; il totale corretto è 26, come nei quiz.

Come leggere gli indici (un'azione per passo):

Primo indice = riga (prima variabile), secondo = colonna (seconda variabile).
Due indici numerici → cella interna (congiunta).
Un punto al posto dell'indice → quella variabile è già sommata: è un totale (marginale).

Tre variabili (pagg. 5–6): razza della vittima × razza dell'imputato × pena di morte. Una variabile «esterna» divide in sotto-tabelle. Totali ricavabili: vittime afroamericane 214, vittime bianche 112, «pena Sì» 36, «pena No» 290; condizionato: «pena No» dato vittima bianca = 9 + 97 = 108. La scelta della variabile esterna cambia la leggibilità, non i dati.

6 · Trappole

n₂,₁ è riga 2 colonna 1 (Femmina–Destra = 44), non riga 1 colonna 2.
Il punto indica cosa si è sommato: n.₃ è il totale della colonna 3, n₃. della riga 3.
Doppia entrata = caso particolare di tabella di contingenza (due variabili).
Frequenze congiunte = verificarsi contemporaneo, non «a due a due».

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 34. Tabelle di contingenza, dispensa pdf/34.pdf, 16 pagine fisiche. Struttura: pagg. 3–4; tre variabili: pagg. 5–6; grafici: pagg. 7–8; quiz: pagg. 13–16. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 269–277.