Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 5: Variabili casuali multiple

Lezione 33. Variabili Casuali Multiple Continue

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che legame c'è tra densità congiunta e ripartizione congiunta?

F è l'integrale multiplo di f da −∞ fino a (x₁,…,xₘ); f è la derivata parziale m-esima di F.

Come si ottiene la marginale di X da f(x, y)?

Integrando su y: f_X(x) = ∫ f(x, y) dy. Oppure F_X(x) = F(x, +∞).

Quante dimensioni servono per disegnare la densità di una v.c. a m componenti?

m + 1: m per i valori, una per l'altezza della densità. Disegnabile solo per m = 2.

1 · In 30 secondi

Nel continuo la v.c. multipla è nota tramite la ripartizione F(x₁,…,xₘ); da essa discende un'unica densità congiunta f (derivata parziale m-esima), ben definita se f ≥ 0 e il suo integrale su ℝᵐ vale 1. Le probabilità sono ipervolumi sotto la densità: ogni punto singolo ha probabilità 0. Marginali per integrazione; condizionate tramite la densità condizionata; indipendenza = densità che si fattorizza.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 32 (caso discreto), lez. 19 (densità univariata)
Serve per	Lez. 35 (covarianza e correlazione), lez. 48–50 (Chi-quadrato, t, F nascono da v.c. indipendenti)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Ripartizione multivariata	F(x₁,…,xₘ) = Pr(X₁ ≤ x₁, …, Xₘ ≤ xₘ): rende «nota» la v.c. continua	F(x, +∞) = F_X(x)	La densità f
Densità congiunta	∂ᵐF / ∂x₁…∂xₘ: non è una probabilità, è proporzionale alla probabilità di un ipercubo infinitesimo	Superficie sopra il piano X–Y	Pr(X = x₀, Y = y₀) (che vale 0)
Densità condizionata	f(y \| x₀) = f(x₀, y)/f(x₀), con f(x₀) > 0: risolve il denominatore nullo di Pr(X = x₀)	Distribuzione di Y fissato X = x₀	La marginale f_Y(y)
Integrale di Lebesgue-Stieltjes	∫ … dF: unifica somme (discreto) e integrali (continuo)	dF = f(x)dx se continua	—

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Da f a F	F(x₁,…,xₘ) = ∫₋∞^x₁ … ∫₋∞^xₘ f(t₁,…,tₘ) dt₁…dtₘ	3
Da F a f	f = ∂ᵐF / (∂x₁ ∂x₂ … ∂xₘ)	3
Buona definizione	f ≥ 0; ∫…∫ f = 1 su ℝᵐ	4
Marginali (doppia)	f_X(x) = ∫ f(x,y) dy; F_X(x) = F(x, +∞); F_Y(y) = F(+∞, y)	7
Numero di marginali	2ᵐ − 2	7
Indipendenza	f(x₁,…,xₘ) = f(x₁)···f(xₘ)	8
Lemma 1	X, Y indipendenti ⟹ E(XY) = E(X)·E(Y)	9

5 · Cuore della lezione

Discreto vs continuo multivariato:

Operazione	Discreto (lez. 32)	Continuo (lez. 33)
Si assegna	Massa congiunta p	Densità congiunta f
Marginale	Somma sulle componenti escluse	Integrale sulle componenti escluse
Punto singolo	Può avere probabilità > 0	Probabilità 0
Probabilità di un insieme	Somma di masse	Ipervolume sotto f
Indipendenza	p = p₁···pₘ	f = f₁···fₘ

Il problema del condizionamento a un punto (pag. 8): nel continuo Pr(X = x₀) = 0, quindi Pr(Y ∈ A | X = x₀) avrebbe denominatore nullo. La soluzione è passare alle densità: f(y | x₀) = f(x₀, y)/f(x₀), definita dove f(x₀) > 0. È una densità a tutti gli effetti.

6 · Trappole

Densità senza limite superiore: f ≥ 0 sì, f ≤ 1 no (come nel caso univariato).
Grafico in m + 1 dimensioni, non m: serve un asse in più per l'altezza della densità.
F_X(x) = F(x, +∞), non F(x, −∞) (che vale 0).
Le marginali di una congiunta continua sono continue univariate, non miste.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 33. Variabili Casuali Multiple Continue, dispensa pdf/33.pdf, 15 pagine fisiche. Ripartizione e densità: pagg. 2–4; grafici: pag. 5; densità, marginali e condizionate: pagg. 6–8; indipendenza: pagg. 8–9; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 269–276.