Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 5: Variabili casuali multiple

Lezione 35. Covarianza e correlazione

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Qual è la formula operativa della covarianza?

Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)·E(Y).

Tra quali valori sta la correlazione?

Tra −1 e +1: −1 relazione lineare perfetta inversa, +1 diretta, 0 assenza di relazione lineare.

Correlazione nulla significa indipendenza?

No: significa solo assenza di legame LINEARE. Indipendenti ⟹ incorrelate, non il viceversa.

1 · In 30 secondi

Dalle marginali, in generale, non si ricostruisce la congiunta (salvo indipendenza). Per misurare il legame tra due componenti si usa la covarianza Cov(X,Y) = E[(X−µ_X)(Y−µ_Y)] = E(XY) − E(X)E(Y): il segno dice se prevalgono scarti concordi (+) o discordi (−), ma il valore dipende dalle unità. Standardizzando si ottiene la correlazione lineare di Pearson ρ = Cov/(σ_X σ_Y), compresa tra −1 e +1.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 33 (densità congiunta, indipendenza), lez. 24 (varianza), lez. 25 (standardizzazione)
Serve per	Var(X ± Y) nel caso non indipendente; regressione e statistica multivariata (oltre il corso)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Covarianza σ_XY	Momento misto 1+1 degli scarti: E[(X−µ_X)(Y−µ_Y)]; invariante per traslazione, non per scala	Cavalli × miglia per gallone (mtcars): ≈ −320	La varianza di X + Y
Correlazione ρ	Covarianza delle standardizzate: Cov/(σ_X σ_Y), numero puro in [−1, 1]	ρ = +1: retta crescente perfetta	Un valore come 2 o −1,5 (impossibile)
Incorrelazione (ρ = 0)	Assenza di legame lineare; nube di punti senza direzione	Nube «sferica» (Figura 2)	Indipendenza (è più forte)
Non identificabilità della congiunta	Le stesse marginali possono provenire da infinite congiunte diverse	Famiglia 1 + α(2x−1)(2y−1) su [0,1]²	Il caso indipendente (α = 0), unico

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Covarianza (definizione)	Cov(X,Y) = E[(X − µ_X)(Y − µ_Y)]	7
Covarianza (operativa)	Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)	7
Limiti della covarianza	−σ_Xσ_Y ≤ Cov(X,Y) ≤ σ_Xσ_Y	8
Correlazione	ρ = Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))	9
Limiti della correlazione	−1 ≤ ρ ≤ 1	10
Indipendenza	X, Y indipendenti ⟺ F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)	5

5 · Cuore della lezione

Lettura di ρ:

Valore	Significato
ρ = +1	Relazione lineare perfetta diretta
0 < ρ < 1	Legame lineare positivo, più forte vicino a 1
ρ = 0	Nessun legame lineare (linearmente indipendenti)
−1 < ρ < 0	Legame lineare negativo
ρ = −1	Relazione lineare perfetta inversa

Indipendenza vs incorrelazione — la gerarchia da ricordare:

Indipendenti ⟹ E(XY) = E(X)E(Y) (lez. 33, Lemma 1) ⟹ Cov = 0 ⟹ ρ = 0. Il contrario NON vale: due v.c. possono avere ρ = 0 ed essere legate in modo non lineare (es. Y = X² con X simmetrica attorno a 0).

Esempio della non identificabilità (esempio 35.1, pagg. 5–6): X e Y uniformi su [0,1]. La congiunta indipendente vale 1 sul quadrato; ma anche ogni h̃(x,y) = 1 + α(2x−1)(2y−1), con α ∈ [0,1], ha le stesse marginali uniformi. Infinite congiunte, stesse marginali: le marginali da sole non bastano.

6 · Trappole

ρ = 0 ≠ indipendenza: è solo assenza di legame lineare. La dispensa a pag. 10 lo formula in modo impreciso; il quiz chiede la versione corretta.
I limiti ±σ_Xσ_Y sono della covarianza, i limiti ±1 della correlazione: il quiz li scambia.
La covarianza dipende dalle unità: conta il segno, non la grandezza; per confrontare serve ρ.
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y), non somme di varianze o di medie.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 35. Covarianza e correlazione, dispensa pdf/35.pdf, 17 pagine fisiche. Richiami: pagg. 3–4; marginali e congiunta: pagg. 5–6; covarianza: pagg. 7–8; correlazione: pagg. 9–10; quiz: pagg. 15–17. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 278–281.