Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 5: Variabili casuali multiple

Lezione 32. Variabili Casuali Multiple Discrete

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quando una v.c. multipla discreta è ben definita?

Probabilità congiunte tutte ≥ 0 e con somma 1 su tutte le m-uple.

Quante marginali si deducono da una v.c. a m dimensioni?

2ᵐ − 2 in totale (es. 6 per una tripla).

Che differenza c'è tra marginale e condizionata?

La marginale esclude una o più componenti (sommando su di esse); la condizionata le fissa a un valore.

1 · In 30 secondi

Una v.c. multipla discreta è nota se si conoscono tutte le m-uple e le loro probabilità congiunte; è ben definita se sono ≥ 0 e sommano a 1. La ripartizione multivariata F(x₁,…,xₘ) = Pr(X₁ ≤ x₁, …, Xₘ ≤ xₘ) ha 5 condizioni necessarie e sufficienti. Dalla congiunta si ottengono le marginali (sommando) e le condizionate (fissando). Le componenti sono indipendenti se e solo se la congiunta è il prodotto delle marginali.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 31 (v.c. multiple), lez. 11 (indipendenza tra eventi)
Serve per	Lez. 34 (tabelle di contingenza), lez. 35 (covarianza)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Supporto multivariato S	Insieme (finito o numerabile) delle m-uple con probabilità positiva; S ⊂ ℝᵐ	Piano X–Y con barre (Figura 1)	Un intervallo continuo di ℝ²
V.c. marginale	Esclude dalla considerazione una o più componenti (si somma su di esse)	p_X(x) = Σᵧ Σ_z p(x,y,z)	p(y \| X = x₀)
V.c. condizionata	Distribuzione della multipla dopo aver fissato il valore di una o più componenti	Pr(Y = y \| X = x₀)	La marginale di Y
Componenti indipendenti	La congiunta si fattorizza nel prodotto delle marginali, per ogni m-upla	p(x,y) = g(x)·h(y)	Una congiunta che non si fattorizza

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Buona definizione	p(x₁,…,xₘ) ≥ 0; Σ p(x₁,…,xₘ) = 1	2
Ripartizione	F(x₁,…,xₘ) = Pr(X₁ ≤ x₁, …, Xₘ ≤ xₘ)	4
Numero di marginali	2ᵐ − 2	6
Condizionata	Pr(Y = y \| X = x₀) = Pr(X = x₀, Y = y)/Pr(X = x₀), Pr(X = x₀) > 0	8
Indipendenza	p(x₁,…,xₘ) = p(x₁)···p(xₘ) ⟺ F = F₁···Fₘ	9

5 · Cuore della lezione

Le 5 condizioni della ripartizione multivariata (pag. 4):

F(−∞, …, −∞) = 0 (evento impossibile).
F(+∞, …, +∞) = 1 (evento certo).
Mandando un argomento a +∞ si ottiene la ripartizione delle componenti rimanenti.
F è continua da destra rispetto a tutte le variabili.
Le differenze successive Δˢ F sono ≥ 0: ogni probabilità derivata da F è non negativa.

Esempio svolto (esempio 32.1): v.c. tripla (X, Y, Z). Marginali in totale: 2³ − 2 = 6. Tre doppie — (X,Y) sommando su z; (X,Z) sommando su y; (Y,Z) sommando su x — e tre semplici, sommando su due componenti. Regola unica: si somma su ciò che si vuole escludere.

Scorciatoia (pag. 10): X e Y sono indipendenti se e solo se esistono due funzioni g e h con p(x, y) = g(x)·h(y) per ogni x, y. L'indipendenza si conserva per trasformazioni: g(X) e h(Y) restano indipendenti.

6 · Trappole

F(+∞, −∞, +∞) non vale 1: basta un argomento a −∞ per avere un evento impossibile → 0.
Marginale ≠ condizionata: sommare su una componente non è fissarla.
2ᵐ − 2, non 2ᵐ: si escludono la v.c. intera e quella «vuota».
Indipendenza = per OGNI m-upla: basta una cella in cui il prodotto non torna per avere dipendenza.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 32. Variabili Casuali Multiple Discrete, dispensa pdf/32.pdf, 15 pagine fisiche. Buona definizione: pag. 2; supporto: pag. 3; ripartizione: pagg. 4–5; marginali e condizionate: pagg. 6–8; indipendenza: pagg. 9–10; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 269–276.