Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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Il numero di eventi in un ambito circoscritto (tempo, spazio, concetto): chiamate in un'ora, difetti per metro, errori per pagina.
Pr(X = x) = θˣe^(−θ)/x!, per x = 0, 1, 2, …
Sono uguali: E(X) = Var(X) = θ.
La Poisson Po(θ) conta gli eventi in un intervallo (di tempo, spazio o concetto) generati da un processo di Poisson: indipendenza tra intervalli disgiunti, probabilità proporzionale all'ampiezza, eventi mai simultanei. Supporto ℕ, massa θˣe^(−θ)/x!, media = varianza = θ. È asimmetrica a destra e leptocurtica, ma tende a simmetria e normocurtosi per θ grande. Nasce come limite della Binomiale con n grande e θ piccolo («eventi rari»).
| Notazione | X ∼ Po(θ), θ > 0 (spesso λ) |
| Supporto | S = ℕ = {0, 1, 2, …} |
| Massa | θˣ e^(−θ) / x! |
| Ripartizione | F(x) = Σᵢ₌₀ᵏ (θⁱ/i!) e^(−θ), per k ≤ x < k+1 |
| Media | θ |
| Varianza | θ (uguale alla media) |
| Asimmetria | 1/√θ → 0 per θ → ∞ |
| Curtosi | 3 + 1/θ → 3 per θ → ∞ (sempre leptocurtica) |
| Prova tipica | Squilli del telefono in un'ora; globuli rossi per mm³; errori per pagina |
| Ben definita | Σ θˣe^(−θ)/x! = e^(−θ)·e^θ = 1 |
| Riproduttività | Yᵢ ∼ Po(θᵢ) indipendenti ⟹ ΣYᵢ ∼ Po(θ₁ + … + θₙ) |
| Ricorsione | Pr(X = 0) = e^(−θ); Pr(X = x+1) = Pr(X = x)·θ/(x+1) |
| Limite della Binomiale | Bin(n, θ) → Po(λ) con λ = nθ, n → ∞, θ → 0 |
Esempio svolto: linee di produzione (esempi 40.4–40.5): tre linee si fermano in media 2,4, 5 e 1,2 volte a settimana, indipendentemente. Prima linea: Pr(X ≥ 1) = 1 − e^(−2,4) ≈ 0,91. Tutte insieme: Y ∼ Po(8,6) per riproduttività; Pr(Y ≤ 3) = e^(−8,6)(1 + 8,6 + 8,6²/2 + 8,6³/6) ≈ 0,028.
Prova tu: con θ = 2, Pr(X = 0)? Soluzione sotto.
Soluzione: e^(−2) ≈ 0,135.
Storia in breve (pag. 2): Poisson (1837) la ricava come limite della Binomiale; Bortkiewicz (1898) la applica alle morti per calci di cavallo nell'esercito prussiano; Student (1907) e Rutherford–Geiger (1910) la usano in biologia e fisica. Per le discrete ha un ruolo paragonabile a quello della Normale per le continue.
Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 40. Variabile Casuale Poisson, dispensa pdf/40.pdf, 14 pagine fisiche. Processo e definizione: pagg. 3–5; momenti ed esempi: pagg. 6–7; proprietà: pagg. 8–9; quiz: pagg. 12–14. Valori numerici degli esempi ricalcolati. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 284–286.