Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 42. Variabile Casuale Esponenziale

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa descrive una ε(λ)?

La durata di un fenomeno che «non invecchia»: tempi di attesa, vita di componenti, decadimento radioattivo.

Media e varianza?

E(X) = 1/λ; Var(X) = 1/λ².

Che cosa dice l'assenza di memoria?

Pr(X > a + b | X > a) = Pr(X > b): il tempo già trascorso non conta.

1 · In 30 secondi

L'Esponenziale ε(λ) modella durate e attese: densità λe^(−λx) su [0, +∞), ripartizione 1 − e^(−λx), sopravvivenza Pr(X > x) = e^(−λx). Media 1/λ (quindi λ = 1/durata media), varianza 1/λ². Asimmetrica a destra (γ₁ = 2) e leptocurtica, qualunque sia λ. Proprietà chiave: assenza di memoria. È il tempo tra due eventi di un processo di Poisson.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 40 (Poisson), lez. 19 (lampadina: prima apparizione)
Serve per	Affidabilità, code e attese; lez. 27 (momenti caratteristici calcolati)

3 · Carta d'identità

In Ripasso i valori sono coperti: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Notazione	X ∼ ε(λ), λ > 0
Supporto	S = [0, +∞)
Densità	f(x) = λe^(−λx), x > 0
Ripartizione	F(x) = 1 − e^(−λx)
Sopravvivenza	Pr(X > x) = e^(−λx)
Media	1/λ
Varianza	1/λ²
Asimmetria / curtosi	γ₁ = 2; leptocurtica (γ₂ = 9, cioè eccesso 6)
Prova tipica	Durata di una lampadina; attesa alla cassa; autonomia di una batteria

Incongruenza segnalata: la lez. 27 dà γ₂ = 9, la lez. 42 scrive γ₂ = 6. Il valore corretto della curtosi è 9 (6 è l'eccesso γ₂ − 3). Per il quiz basta «leptocurtica».

4 · Formule essenziali

Parametro dalla media	λ = 1/E(X)
Intervallo	Pr(a < X < b) = e^(−λa) − e^(−λb)
Assenza di memoria	Pr(X > a+b \| X > a) = e^(−λ(a+b))/e^(−λa) = e^(−λb)
Legame con Poisson	eventi ∼ Po(λ) per unità di tempo ⟹ attesa tra eventi ∼ ε(λ)

5 · Cuore della lezione

Procedura per un esercizio (esempio 42.5):

Riconosci una durata → Esponenziale.
Ricava λ dalla durata media: λ = 1/µ.
«Dura meno di x» → F(x) = 1 − e^(−λx); «dura più di x» → e^(−λx).
Se c'è un «sapendo che ha già…», applica l'assenza di memoria e sottrai il tempo trascorso.

Esempio svolto: la lampadina (durata media 5000 ore, λ = 1/5000): Pr(X < 4000) = 1 − e^(−0,8) ≈ 0,55; Pr(4000 < X < 6000) = e^(−0,8) − e^(−1,2) ≈ 0,15; Pr(X > 6000) = e^(−1,2) ≈ 0,30; Pr(X > 8000 | X > 3000) = Pr(X > 5000) = e^(−1) ≈ 0,37.

Prova tu: cassa con un cliente servito in media ogni 10 minuti; Pr(attesa > 10)? Soluzione sotto.

Soluzione: e^(−1) ≈ 0,37.

6 · Trappole

λ è l'inverso della media, non la media: durata 500 km → λ = 1/500.
Varianza 1/λ², non 1/λ.
Assenza di memoria è condizionata: Pr(X > a+b | X > a), non Pr(X > a+b) = Pr(X > b).
Supporto [0, +∞): niente durate negative.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 42. Variabile Casuale Esponenziale, dispensa pdf/42.pdf, 14 pagine fisiche. Definizione ed esempi: pagg. 3–4; momenti: pag. 5; proprietà ed esempi svolti: pagg. 6–9; quiz: pagg. 12–14. Valori degli esempi ricalcolati.