Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 41. Variabile Casuale Uniforme Continua

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che densità ha una U(a, b)?

Costante: f(x) = 1/(b − a) su [a, b], zero altrove.

Media e varianza?

E(X) = (a + b)/2; Var(X) = (b − a)²/12. Per U(0, 1): 1/2 e 1/12.

Due intervalli di uguale ampiezza dentro [a, b] hanno uguale probabilità?

Sì: la probabilità dipende solo dall'ampiezza, (x₂ − x₁)/(b − a).

1 · In 30 secondi

La Uniforme continua U(a, b) distribuisce la probabilità in modo uniforme su un intervallo: densità costante 1/(b−a), ripartizione lineare (x−a)/(b−a). Media al centro, varianza (b−a)²/12, simmetrica e platicurtica (γ₂ = 1,8). Ogni U(a, b) si ottiene da U(0, 1) con Y = a + (b−a)X, e — teorema dell'inversione — da U(0, 1) si può generare qualsiasi v.c.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 37 (Uniforme discreta), lez. 19 (densità)
Serve per	Lez. 54 (simulazione: numeri casuali da U(0, 1))

3 · Carta d'identità

In Ripasso i valori sono coperti: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Notazione	X ∼ U(a, b), a < b
Supporto	S = [a, b]
Densità	f(x) = 1/(b − a) su [a, b]
Ripartizione	F(x) = (x − a)/(b − a) su [a, b]; 0 prima, 1 dopo
Media	(a + b)/2
Varianza	(b − a)²/12
Asimmetria / curtosi	γ₁ = 0; γ₂ = 1,8
Prova tipica	Ruota della fortuna U(0, 360°); attesa di un bus orario U(0, 60) minuti

4 · Formule essenziali

Intervallo interno	Pr(x₁ ≤ X ≤ x₂) = (x₂ − x₁)/(b − a)
Linearità	X ∼ U(0,1) ⟹ Y = a + (b−a)X ∼ U(a, b)
Standard	U(0, 1): µ = 1/2, σ² = 1/12
Teorema dell'inversione	X ∼ U(0,1) ⟹ Y = F⁻¹(X) ha ripartizione F

5 · Cuore della lezione

Esempio svolto: il bus (esempio 41.2): passa una volta all'ora, orario ignoto → attesa X ∼ U(0, 60). E(X) = 30 minuti; Var = 3600/12 = 300; Pr(attesa ≤ 15) = 15/60 = 0,25. E Pr(10 ≤ X ≤ 25) = Pr(40 ≤ X ≤ 55) = 15/60: conta solo l'ampiezza.

Prova tu: ruota in radianti, U(0, 2π): media e varianza? Soluzione sotto.

Soluzione: µ = π; σ² = (2π)²/12 = π²/3.

Perché è la base della simulazione (pag. 10): generando valori da U(0, 1) e applicando F⁻¹ si ottengono valori da qualsiasi distribuzione nota. È il ponte verso la lezione 54.

6 · Trappole

Densità 1/(b−a), ripartizione (x−a)/(b−a): il quiz le scambia.
La densità è costante, non la ripartizione (che cresce linearmente).
Varianza /12, media /2.
U(0, 1) standard non ha media 0 e varianza 1: ha 1/2 e 1/12 («standard» qui vuol dire [0, 1]).

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 41. Variabile Casuale Uniforme Continua, dispensa pdf/41.pdf, 15 pagine fisiche. Definizione ed esempi: pagg. 3–5; momenti: pag. 6; proprietà: pagg. 7–9; inversione: pag. 10; quiz: pagg. 13–15.