Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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Il numero di successi in n sottoprove di Bernoulli indipendenti con la stessa probabilità θ.
Pr(X = x) = C(n, x)·θˣ(1−θ)ⁿ⁻ˣ, per x = 0, 1, …, n.
E(X) = nθ; Var(X) = nθ(1 − θ): n volte quelle della Bernoulli.
La Binomiale Bin(n, θ) è la somma di n Bernoulli indipendenti con lo stesso θ: conta i successi su n prove (estrazioni con ripetizione). Ogni sequenza con x successi ha probabilità θˣ(1−θ)ⁿ⁻ˣ e ce ne sono C(n, x): da qui la massa. Media nθ, varianza nθ(1−θ); simmetrica solo per θ = 1/2.
| Richiede | Lez. 38 (Bernoulli), lez. 13 (coefficiente binomiale), lez. 6 (estrazioni con ripetizione) |
| Serve per | Lez. 40 (Poisson come limite), lez. 53 (approssimazione normale) |
| Notazione | X ∼ Bin(n, θ), n ∈ ℕ, θ ∈ [0, 1] |
| Supporto | S = {0, 1, …, n} |
| Massa | C(n, x)·θˣ(1−θ)ⁿ⁻ˣ, con C(n, x) = n!/(x!(n−x)!) |
| Ripartizione | F(x) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i)θⁱ(1−θ)ⁿ⁻ⁱ, per k ≤ x < k+1 |
| Media | nθ |
| Varianza | nθ(1 − θ) |
| Asimmetria | (1 − 2θ)/√(nθ(1−θ)); 0 per θ = 1/2 |
| Curtosi | 3 + (1 − 6θ + 6θ²)/(nθ(1−θ)) |
| Prova tipica | n estrazioni con ripetizione; n lanci della stessa moneta (anche truccata) |
| Sommabilità | X = Y₁ + … + Yₙ, Yᵢ ∼ Ber(θ) i.i.d. ⟹ X ∼ Bin(n, θ) |
| Caso n = 1 | Bin(1, θ) = Ber(θ) |
| Complementarità | X ∼ Bin(n, θ), Y ∼ Bin(n, 1−θ): Pr(X ≤ x) = Pr(Y ≥ n − x) |
| Ricorsione | Pr(X = 0) = (1−θ)ⁿ; Pr(X = x+1) = Pr(X = x)·(n−x)/(x+1)·θ/(1−θ) |
Perché il coefficiente binomiale (pagg. 5–6): con n = 3 e x = 2, le sequenze con due successi sono 110, 101, 011: C(3, 2) = 3, ciascuna con probabilità θ²(1−θ). Le sequenze con lo stesso numero di successi sono incompatibili: le loro probabilità si sommano. È esattamente il «×3» che mancava ai quiz della lez. 16.
Prova tu: X ∼ Bin(3, 1/2), Pr(X = 2)? Soluzione sotto.
Soluzione: 3·(1/2)²·(1/2) = 3/8.
Esempi della dispensa (esempio 39.1): 20 bulbi con fioritura al 50% → Bin(20; 0,5); bulloni difettosi al 20% su 50 → Bin(50; 0,2); 100 estrazioni con 90% rosse → Bin(100; 0,9).
Cambiare punto di vista (pag. 10): contare gli insuccessi invece dei successi trasforma Bin(n, θ) in Bin(n, 1−θ): le masse sono speculari (Bin(10; 0,2) e Bin(10; 0,8)).
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 39. Variabile Casuale Binomiale, dispensa pdf/39.pdf, 15 pagine fisiche. Definizione: pagg. 3–7; momenti: pag. 8; proprietà: pagg. 9–10; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 284–286.