Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 45. Probabilità di una Normale: caso unilaterale con quantile positivo

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cos'è una probabilità unilaterale?

Quella di un intervallo illimitato da un lato: Pr(X > q) (illimitato a destra) o Pr(X < q) (illimitato a sinistra).

Quando il quantile è «positivo»?

Quando q > µ: il suo z-score è positivo.

X ∼ N(10, 4): Pr(X > 15)?

z = (15 − 10)/2 = 2,5 → 1 − Φ(2,5) = 1 − 0,9938 = 0,0062 (0,62%).

1 · In 30 secondi

Lezione procedurale: calcolare Pr(X ≤ q) o Pr(X > q) per una Normale quando q > µ (z-score positivo). Si standardizza, si legge Φ(z) sulla tavola, si passa al complemento se serve la coda destra. Il percorso inverso — data la probabilità, trovare il quantile — si fa leggendo la tavola «al contrario» e destandardizzando: q = µ + zσ.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 44 (tavole e z-score)
Serve per	Lez. 46 (quantili negativi), lez. 47 (bilaterale)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio
Probabilità unilaterale	Riferita a un intervallo aperto da un solo lato, limitato dal quantile	Pr(X > 15)
Quantile positivo	q > µ, quindi z = (q − µ)/σ > 0	N(35, 12), q = 41 → z = 1,73
Calcolo della probabilità	Dato q (o z), trovare α	Pr(Z > 2,5) = 0,0062
Calcolo del quantile	Data α, trovare z sulla tavola e poi q = µ + zσ	Pr(X > q) = 1,16% in N(150, 121) → q ≈ 175

4 · Formule essenziali

Coda sinistra	Pr(X ≤ q) = Φ((q − µ)/σ)
Coda destra	Pr(X > q) = 1 − Φ((q − µ)/σ)
Con la tavola 2	Φ(z) = 0,5 + Pr(0 ≤ Z ≤ z)
Destandardizzazione	q = µ + z·σ

5 · Cuore della lezione — procedura ed esempi svolti

Procedura: dalla probabilità richiesta al numero

Scrivi µ, σ² e calcola σ = √σ².
Formalizza la richiesta: Pr(X ≤ q) oppure Pr(X > q).
Standardizza: z = (q − µ)/σ (qui z > 0).
Leggi Φ(z) sulla tavola 1 (o 0,5 + valore della tavola 2).
Coda destra? Calcola 1 − Φ(z).

Esempio 45.1: X ∼ N(10, 4), Pr(X > 15). σ = 2; z = 2,5; Φ(2,5) = 0,9938; risultato 1 − 0,9938 = 0,0062 = 0,62%.

Esempio 45.2: X ∼ N(10, 9), Pr(X ≤ 15). σ = 3; z = 1,67; Φ(1,67) = 0,9525.

Quantile: X ∼ N(150, 121), Pr(X > q) = 0,0116 → Φ(z) = 0,9884 → z = 2,27 → q = 150 + 2,27·11 ≈ 175.

Prova tu: X ∼ N(16, 1), q = 19: quanto vale lo z-score? Soluzione sotto.

Soluzione: (19 − 16)/1 = 3.

6 · Trappole

Dividi per σ, non per σ²: N(4, 2), q = 6 → z = 2/√2 = 1,41, non 1.
Una probabilità non vale 2,5: 2,5 è lo z-score; la probabilità è 0,62%.
Coda destra = complemento: la tavola 1 dà sempre l'area a SINISTRA.
Pr(X > q) = 0,5 ⟺ q = µ: nessuna tavola necessaria.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 17–19). Scegli una risposta: ricevi subito esito e calcolo.

Fonte. Lucio Palazzo, 45. Probabilità di una v.c. Normale: caso unilaterale (quantili positivi), dispensa pdf/45.pdf, 19 pagine fisiche. Definizioni: pagg. 3–4; calcolo delle probabilità: pagg. 5–9; calcolo dei quantili: pagg. 10–12; quiz: pagg. 17–19. Valori numerici ricalcolati con la Normale standard.