Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 44. Le tavole degli z-score

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Perché servono le tavole?

La ripartizione della Normale non ha forma esplicita: i suoi valori si leggono da tavole precalcolate per Z ∼ N(0, 1).

Regola 68–95–99,7?

Entro µ ± σ cade il 68,2%; entro µ ± 2σ il 95,4%; entro µ ± 3σ il 99,7%.

Come si legge z = 1,25 sulla tavola?

Riga 1,2 (fino al primo decimale), colonna 0,05 (seconda cifra): Φ(1,25) = 0,8944.

1 · In 30 secondi

Ogni probabilità di una Normale si riduce alla Normale standard: Pr(a ≤ X ≤ b) = Pr(z_a ≤ Z ≤ z_b), con z = (x − µ)/σ. I valori di Φ si leggono sulle tavole degli z-score: riga = unità e primo decimale, colonna = secondo decimale. Esistono 4 tipi di tavola (diverse aree tabulate): bisogna sempre guardare il grafico in testa alla tavola. Due tipi di esercizio: dato z trova la probabilità, o data la probabilità trova il quantile.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 43 (Normale), lez. 25 (z-score), lez. 28 (confronto con Čebyšëv)
Serve per	Lez. 45–47 (calcoli unilaterali e bilaterali)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Tavola	Che cosa tabula	Valori
1 · ripartizione, z ≥ 0	Pr(Z ≤ z), area da −∞ a z	tra 0,5 e 1
2 · alternativa, z ≥ 0	Pr(0 ≤ Z ≤ z), area da 0 a z	tra 0 e 0,5
3 · quantili negativi	Pr(Z ≤ −z), coda sinistra	tra 0 e 0,5
4 · inversa, quantili negativi	Pr(Z ≥ −z), area da −z a +∞	tra 0,5 e 1

4 · Formule essenziali

z-score	z = (x − µ)/σ
Riduzione a Z	Pr(a ≤ X ≤ b) = Pr((a−µ)/σ ≤ Z ≤ (b−µ)/σ)
Simmetria	Φ(−z) = 1 − Φ(z); Pr(Z > 0) = Pr(Z < 0) = 0,5
Regola 3-σ	±1σ: 0,682 · ±2σ: 0,954 · ±3σ: 0,997

5 · Cuore della lezione

Come leggere la tavola 1 (un'azione per passo):

Calcola z = (x − µ)/σ e arrotonda a due decimali.
Cerca la riga con unità e primo decimale (es. 1,2).
Cerca la colonna con il secondo decimale (es. 0,05).
All'incrocio leggi Φ(z) = Pr(Z ≤ z) (es. Φ(1,25) = 0,8944).
Se ti serve un'altra area, ricavala: complemento, simmetria o differenza.

Normale vs Čebyšëv: entro 2σ la Normale garantisce il 95,4%, Čebyšëv solo «almeno 75%»; entro 3σ 99,7% contro «almeno 89%». Conoscere la distribuzione rende le probabilità molto più precise (stesso messaggio della lez. 37).

Le tavole complete sono a pagg. 8–11 del PDF; in questa scheda non sono riprodotte: consultale sull'originale.

6 · Trappole

Guarda il grafico in testa alla tavola: la stessa cella può valere Φ(z) o Φ(z) − 0,5.
z divide per σ, non per σ²: in N(10, 4) si divide per 2.
Pr(X < µ) = 0,5 per ogni Normale: è la simmetria, nessuna tavola necessaria.
Nella tavola 4 i quantili sono negativi (−z) anche se le probabilità superano 0,5.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 44. Le tavole degli z-score, dispensa pdf/44.pdf, 17 pagine fisiche. Legame con Z: pagg. 3–4; regola 3-σ: pag. 5; tavole: pagg. 6–11; quiz: pagg. 15–17.