Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 47. Probabilità di una Normale: caso bilaterale

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa rende «simmetrico» un intervallo [a, b]?

|a − µ| = |b − µ|: i due estremi distano uguale dalla media, quindi gli z-score sono ±z.

Se Pr(a ≤ X ≤ b) = 1 − α, quanto c'è in ciascuna coda?

α/2 a sinistra e α/2 a destra.

Pr(−z ≤ Z ≤ z) con la tavola 1?

2Φ(z) − 1.

1 · In 30 secondi

Il caso bilaterale riguarda intervalli limitati da entrambi i lati, di solito simmetrici attorno alla media: Pr(µ − c ≤ X ≤ µ + c) = Pr(−z ≤ Z ≤ z) = 1 − α. Per simmetria ogni coda contiene α/2. Con la tavola 2 il risultato è il doppio del valore letto; con la tavola 1 è 2Φ(z) − 1. Nel calcolo inverso si cerca in tavola 1 − α/2 e poi si destandardizzano i due estremi: µ ± zσ.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 45 e 46 (casi unilaterali), lez. 44 (regola 3-σ)
Serve per	Intervalli di confidenza e test (Statistica); lez. 53 (limite centrale)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio
Probabilità bilaterale	Riferita a un intervallo limitato [a, b], a < b	Pr(50 ≤ X ≤ 60)
Intervallo simmetrico	a < µ < b con \|a − µ\| = \|b − µ\| → z-score ±z	N(31, 6), q₁ = 24 → q₂ = 38
Probabilità nelle code	α/2 in ciascuna coda, α in totale	1 − α = 0,75 → α/2 = 0,125
Notazione del quantile	z_(α/2), oppure z_(1−α/2) in altri testi: stesso valore	z_(0,125) = 1,15

4 · Formule essenziali

Standardizzazione	Pr(a ≤ X ≤ b) = Pr(−z ≤ Z ≤ z), z = (b − µ)/σ
Con la tavola 2	Pr(−z ≤ Z ≤ z) = 2·Pr(0 ≤ Z ≤ z)
Con la tavola 1	Pr(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1
Quantili da 1 − α	Φ(z) = 1 − α/2 → q₁,₂ = µ ∓ zσ

5 · Cuore della lezione — procedura ed esempi svolti

Procedura inversa: dalla probabilità all'intervallo

Scrivi 1 − α e ricava α/2.
Calcola l'area a sinistra di +z: 1 − α/2.
Cerca 1 − α/2 al centro della tavola 1 e leggi z ai margini.
Destandardizza: q₁ = µ − zσ, q₂ = µ + zσ.

Esempio 47.1: X ∼ N(55, 49), Pr(50 ≤ X ≤ 60). z = ±0,71; tavola 2 → 0,2611 → 2·0,2611 = 0,5222 (tavola 1: 2·0,7611 − 1 = 0,5222).

Esempio 47.2: X ∼ N(76, 36), entro 2,5 σ dalla media → [61, 91]; z = ±2,5; tavola 2 → 0,4938 → 0,9876.

Esempio 47.3 (quantili): X ∼ N(50, 144), intervallo simmetrico con probabilità 0,75. α/2 = 0,125 → Φ(z) = 0,875 → z ≈ 1,15 → [50 − 13,8; 50 + 13,8] = [36,2; 63,8].

Prova tu: Pr(a < X < b) = 0,954 per un intervallo simmetrico: quali z-score? Soluzione sotto.

Soluzione: ±2 (regola 3-σ della lez. 44).

6 · Trappole

Il valore della tavola 2 è metà del risultato: raddoppialo.
Nel calcolo inverso cerca 1 − α/2, non 1 − α: per 0,75 si cerca 0,875.
Pr(a ≤ X ≤ b) in generale non è centrato: la simmetria è un'ipotesi da verificare.
z-score ±0,71, non ±5: la distanza 5 va divisa per σ = 7.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 19–22). Scegli una risposta: ricevi subito esito e calcolo.

Fonte. Lucio Palazzo, 47. Probabilità di una v.c. Normale: caso bilaterale, dispensa pdf/47.pdf, 22 pagine fisiche. Definizioni: pagg. 3–4; calcolo delle probabilità: pagg. 5–10; calcolo dei quantili: pagg. 11–13; tavole: pagg. 15–17; quiz: pagg. 19–22. Valori ricalcolati con la Normale standard.