Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 46. Probabilità di una Normale: caso unilaterale con quantile negativo

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quando il quantile è «negativo»?

Quando q < µ: il suo z-score è negativo, e per convenzione si scrive −z con z ≥ 0.

Come si usa la tavola dei quantili positivi con un −z?

Con la simmetria: Pr(Z ≤ −z) = Pr(Z ≥ z) = 1 − Φ(z).

X ∼ N(55, 49): Pr(X ≤ 50)?

z = (50 − 55)/7 = −0,71 → Pr(Z ≤ −0,71) = 0,2389 (circa 24%).

1 · In 30 secondi

Stessa procedura della lezione 45, ma con q < µ (z-score negativo). Le probabilità si leggono direttamente sulle tavole dei quantili negativi (tavole 3 e 4), oppure sulle tavole dei quantili positivi grazie alla simmetria: Pr(X < µ − q) = Pr(X > µ + q). Nel calcolo inverso, una probabilità di coda destra maggiore di 0,5 segnala subito un quantile negativo.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 44 (tavole 3 e 4), lez. 45 (procedura unilaterale)
Serve per	Lez. 47 (bilaterale: unisce il caso positivo e il negativo)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio
Quantile negativo	q < µ, quindi z = (q − µ)/σ < 0 (scritto −z)	N(26, 12), q = 24
Coda sinistra	Pr(X < q) con q < µ: area piccola, sotto 0,5	Pr(Z ≤ −0,71) = 0,2389
Area a destra di −z	Pr(X > q) con q < µ: area grande, sopra 0,5	Pr(Z > −1,17) = 0,8790
Simmetria dei quantili	Pr(X < µ − q) = Pr(X > µ + q); Pr(X > µ − q) = Pr(X < µ + q)	Pr(Z > −1,17) = Φ(1,17)

4 · Formule essenziali

Coda sinistra	Pr(X ≤ q) = Pr(Z ≤ −z) = 1 − Φ(z)
Area a destra	Pr(X > q) = Pr(Z > −z) = Φ(z)
Destandardizzazione	q = µ − z·σ
Interpolazione	valore non tabulato → punto medio dei due quantili vicini

5 · Cuore della lezione — procedura ed esempi svolti

Procedura (un'azione per passo):

Scrivi µ e σ; verifica che q < µ.
Standardizza: −z = (q − µ)/σ.
Con la tavola 3 leggi Pr(Z ≤ −z); con la tavola 4 leggi Pr(Z ≥ −z).
Se la tavola dà l'area opposta, fai il complemento a 1.
Con la sola tavola 1 (z positivi): Pr(Z ≤ −z) = 1 − Φ(z).

Esempio 46.1: X ∼ N(55, 49), Pr(X ≤ 50). σ = 7; −z = −0,71; tavola 3 → 0,2389 (tavola 4 → 0,7611, poi 1 − 0,7611 = 0,2389).

Esempio 46.2: X ∼ N(76, 36), Pr(X > 69). σ = 6; −z = −1,17; tavola 4 → 0,8790 (87,9%).

Esempio 46.3 (quantile): X ∼ N(150, 121), Pr(X > q) = 0,672. Poiché 0,672 > 0,5, il quantile è negativo. In tavola 0,672 sta tra −0,44 e −0,45 → −z ≈ −0,445 → q = 150 − 0,445·11 ≈ 145,1.

Prova tu: X ∼ N(14, 2), q = 10: quanto vale lo z-score? Soluzione sotto.

Soluzione: (10 − 14)/√2 = −2,83 (la dispensa arrotonda a −2,82).

Refuso della dispensa (pag. 7, eq. 4): è scritto «Pr(Z > 2.5)», residuo della lez. 45; il calcolo corretto è 1 − Pr(Z ≥ −0,71) = 0,2389. A pag. 13 «Pr(Z < −zα) = 0,6720» va letto Pr(Z ≥ −zα).

6 · Trappole

Il segno conta: N(16, 1), q = 15 → z = −1, non +1.
Probabilità di coda destra > 0,5 ⟹ quantile sotto la media (145, non 155).
Tavola 4 dà l'area a destra di −z: per la coda sinistra serve il complemento.
Pr(X < q) = 0,5 ⟺ q = µ, sia nel caso positivo sia nel negativo.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 20–22). Scegli una risposta: ricevi subito esito e calcolo.

Fonte. Lucio Palazzo, 46. Probabilità di una v.c. Normale: caso unilaterale negativo, dispensa pdf/46.pdf, 22 pagine fisiche. Definizioni: pagg. 3–4; calcolo delle probabilità: pagg. 5–10; calcolo dei quantili: pagg. 11–14; tavole: pagg. 15–18; quiz: pagg. 20–22. Valori ricalcolati con la Normale standard.