Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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µ regola la posizione (trasla la campana); σ² la dispersione (la allarga o la stringe).
Sempre in µ: la Normale è simmetrica (γ₁ = 0) e normocurtica (γ₂ = 3).
Sì: Y = Σαᵢ Xᵢ ∼ N(Σαᵢµᵢ, Σαᵢ²σᵢ²).
La Normale (gaussiana) N(µ, σ²) ha densità a campana su tutto ℝ, determinata da due parametri: µ (posizione: media = mediana = moda) e σ² (forma/dispersione: i flessi stanno in µ ± σ). È sempre simmetrica e normocurtica. È chiusa per combinazioni lineari di v.c. indipendenti, e la sua standardizzata Z = (X − µ)/σ è la N(0, 1), la base di tutte le tavole.
| Richiede | Lez. 25 (standardizzazione), lez. 26 (curtosi = 3 come riferimento) |
| Serve per | Lez. 44–47 (calcolo di probabilità), lez. 48–50 (Chi-quadrato, t, F), lez. 53 (limite centrale) |
| Notazione | X ∼ N(µ, σ²), µ ∈ ℝ, σ² > 0 (il secondo parametro è la VARIANZA) |
| Supporto | S = ℝ |
| Densità | f(x) = (1/√(2πσ²))·e^(−(x−µ)²/(2σ²)) |
| Ripartizione | F(x) = ∫₋∞ˣ f(t) dt: nessuna forma esplicita → tavole |
| Media = mediana = moda | µ |
| Varianza | σ² |
| Asimmetria / curtosi | γ₁ = 0; γ₂ = 3 (normocurtica) |
| Flessi | in µ − σ e µ + σ |
| Prova tipica | Misure fisiche e biologiche: peso alla nascita N(3,2; 0,5), colesterolo, voti medi N(25, 12) |
| Linearità | Xᵢ ∼ N(µᵢ, σᵢ²) indipendenti ⟹ Σαᵢ Xᵢ ∼ N(Σαᵢµᵢ, Σαᵢ²σᵢ²) |
| Standardizzazione | Z = (X − µ)/σ ∼ N(0, 1); X = σZ + µ |
| Normale standard | φ(z) = (1/√(2π))·e^(−z²/2); Φ(z) = ∫₋∞ᶻ φ |
Effetto dei parametri (pagg. 8–10):
| Cambia | A parità di | Effetto sulla campana |
|---|---|---|
| µ | σ² | Traslazione a destra/sinistra, forma identica |
| σ² | µ | Più stretta e alta (σ² piccola) o larga e bassa (σ² grande) |
Storia essenziale (pag. 2): Galileo intuisce le proprietà degli errori (1632); De Moivre ricava la densità come limite della Binomiale (1733); Laplace formalizza la teoria asintotica; Gauss la lega ai minimi quadrati (1809).
Esempio di linearità: X₁ ∼ N(10, 4) e X₂ ∼ N(5, 1) indipendenti; Y = 2X₁ − X₂ ∼ N(2·10 − 5; 4·4 + 1·1) = N(15, 17). Nota: le varianze si sommano con i coefficienti AL QUADRATO, anche quando il coefficiente è negativo.
Domande originali della dispensa (pagg. 14–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 43. Variabile Casuale Normale, dispensa pdf/43.pdf, 16 pagine fisiche. Storia: pag. 2; definizione: pagg. 3–5; momenti: pag. 6; proprietà e caso canonico: pagg. 7–11; quiz: pagg. 14–16.