Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 7: Teoria asintotica

Lezione 54. Simulazione e metodo Monte Carlo

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quando conviene simulare?

Quando le condizioni del TLC o le assunzioni dei risultati analitici non sono soddisfatte.

Che cos'è il «seme» di un generatore?

Il punto di partenza che permette di rigenerare gli stessi numeri e replicare l'esperimento.

Che cos'è la media Monte Carlo?

T̂_MC = (1/M)·Σ Tₘ: la media delle M stime ottenute nelle M replicazioni.

1 · In 30 secondi

Quando il TLC non si può applicare (prove irripetibili, pochi dati, assunzioni non soddisfatte), si simula: si ripete molte volte una prova in un contesto controllato, generando numeri pseudocasuali. Il metodo Monte Carlo (Fermi, von Neumann, Ulam, Metropolis) ripete M volte «campiona → calcola la statistica» e stima il parametro con la media delle M stime. Tre assunzioni: distribuzione corretta, numerosità alta, indipendenza.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 41 (U(0,1) e inversione), lez. 52 (grandi numeri), lez. 53 (TLC)
Serve per	Inferenza statistica (corso successivo): stime e test d'ipotesi

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio
Simulazione	Ripetere molte volte una prova in un contesto controllato che ne assicura le caratteristiche di base	Stesso dado, stesso lanciatore
Numeri pseudocasuali	Prodotti da un algoritmo rigoroso (RNG): sembrano casuali ma sono deterministici	Metodi congruenziali; inversione da U(0, 1)
Seme	Valore prefissato di partenza: stesso seme → stessi numeri → esperimento replicabile	set.seed(123)
Metodo Monte Carlo	Stima di parametri incogniti tramite esperimenti ripetuti con numeri casuali	Area di un lago, valore di π

4 · Formule essenziali

Media Monte Carlo	T̂_MC = (1/M)·Σₘ₌₁ᴹ Tₘ
Area del lago	sup. lago ≈ (l/n)·sup. tot, con l = colpi caduti nel lago
Moneta	Tₘ = (n. di teste)/m
Somma di Normali	T_tot = ΣTᵢ ∼ N(Σµᵢ, Σσᵢ²) (lez. 43)

5 · Cuore della lezione

Piano di simulazione: 5 fasi

Definisci i risultati e la distribuzione (supporto e famiglia della v.c.).
Definisci la funzione che calcola il parametro (momento o probabilità).
Genera i numeri casuali.
Replica l'esperimento molte volte.
Analizza i risultati e calcola la stima.

Ciclo Monte Carlo (ripetuto per m = 1, …, M):

Campiona n valori xₘ = (x₁,ₘ, …, xₙ,ₘ).
Calcola la statistica Tₘ = T(xₘ).
Dopo M giri, calcola T̂_MC come media delle Tₘ.

Esempio: tempi di consegna (obiettivo: 90% sotto 8 minuti = 480 s). Due profili confrontati con M = 1000 simulazioni di n = 250 consegne. Risultato della dispensa: precotti 99,27% (rispetta il vincolo), cotti al momento 72,95% (non lo rispetta).

Controllo analitico: con i parametri dichiarati T_tot ∼ N(455; 67,1) per i precotti e N(470; 67,1) per i cotti, da cui Pr(T < 480) ≈ 99,9% e ≈ 88,9%. I numeri differiscono da quelli della dispensa, ma la conclusione (solo i precotti superano il 90%) resta la stessa.

Esempio: moneta: proporzione media di teste 0,351, lontana da 0,5 → indizio di moneta truccata (la verifica formale è un test d'ipotesi).

6 · Trappole

Monte Carlo STIMA, non dà il valore esatto né equivale a un censimento.
Più replicazioni → stima più precisa, non meno.
La media Monte Carlo è (1/M)·ΣTₘ, non un prodotto né un rapporto tra stime.
«Definire la distribuzione condizionata» non è una fase del piano di simulazione.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 20–21). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 54. Simulazione e metodo Monte Carlo, dispensa pdf/54.pdf, 21 pagine fisiche. Condizioni del TLC: pag. 2; simulazione e piano: pagg. 3–5; numeri casuali: pagg. 5–7; Monte Carlo: pagg. 8–9; esempi: pagg. 10–16; quiz: pagg. 20–21. Esempio dei tempi di consegna ricalcolato analiticamente.