Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 7: Teoria asintotica

Lezione 53. Il Teorema del Limite Centrale

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa aggiunge il TLC alla legge dei grandi numeri?

La distribuzione: la somma standardizzata di v.c. i.i.d. tende a una N(0, 1), qualunque sia la distribuzione di partenza.

Come si standardizza la somma Sₙ?

Zₙ = (Sₙ − E(Sₙ))/√Var(Sₙ) = (X̄ − µ)/(σ/√n).

Quale fu la prima versione?

De Moivre–Laplace, per v.c. di Bernoulli (De Moivre 1718–1733, Laplace 1812).

1 · In 30 secondi

Il Teorema del Limite Centrale (TLC): la somma (o la media) standardizzata di un gran numero di v.c. indipendenti e identicamente distribuite, con varianza finita, converge in distribuzione alla Normale standard, a prescindere dalla distribuzione delle singole v.c. Prima versione per v.c. di Bernoulli (De Moivre–Laplace), poi generale (Lindeberg–Lévy). Spiega perché tanti fenomeni che sono somma di molte cause indipendenti — altezze, voti, misure — sono circa Normali.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 52 (convergenze, grandi numeri), lez. 43 (Normale), lez. 25 (standardizzazione)
Serve per	Lez. 54 (simulazione quando il TLC non è applicabile); approssimazioni di Binomiale, Poisson, Chi-quadrato

3 · Concetti chiave

In Ripasso gli enunciati sono coperti: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Formulazione	Ipotesi	Tesi
De Moivre–Laplace	Xₙ i.i.d. ∼ Ber(θ)	(Sₙ − nθ)/√(nθ(1−θ)) →d N(0, 1)
Lindeberg–Lévy	Xₙ i.i.d. qualsiasi, media µ, varianza 0 < σ² < ∞	Zₙ →d N(0, 1)
Estensioni	v.c. correlate, numero aleatorio di addendi, caso multivariato	Limite Normale (multivariata nel caso multivariato)

4 · Formule essenziali

Somma standardizzata	Zₙ = (Sₙ − E(Sₙ))/√Var(Sₙ) = (X̄ₙ − µ)/(σ/√n)
Momenti di Zₙ	E(Zₙ) = 0; Var(Zₙ) = 1 per ogni n
Caso Bernoulli	Zₙ = (Sₙ − nθ)/√(nθ(1−θ))
Approssimazione pratica	Sₙ ≈ N(nµ, nσ²); X̄ₙ ≈ N(µ, σ²/n)

5 · Cuore della lezione

Dove il TLC è già stato usato (pag. 6): ogni distribuzione che è somma di molte componenti indipendenti tende alla Normale.

V.c.	È somma di…	Tende a
Binomiale	n Bernoulli	N(nθ, nθ(1−θ))
Somma di Uniformi	n Uniformi	Normale
Poisson	(media crescente)	N(θ, θ)
Chi-quadrato	g quadrati di Z	N(g, 2g)

Esempi di fenomeni circa Normali (esempi 53.1–53.7): altezza di un adulto, punteggio in un test a risposta multipla, dimensioni delle foglie, luminosità di una stella, tempi di percorrenza in città. Caso bivariato: la forma dei vulcani; peso e altezza.

Non-esempio (53.5): durata delle telefonate e reddito nascono da cause che si MOLTIPLICANO → è il logaritmo a essere circa Normale (v.c. Log-Normale).

Legge degli errori accidentali (Gauss): misure ripetute di una costante fisica → scarto X − µ ∼ N(0, σ²).

6 · Trappole

Il limite è N(0, 1) per la somma STANDARDIZZATA; la somma non standardizzata ha media e varianza che crescono.
Serve varianza finita: «media e varianza infinite» non soddisfano Lindeberg–Lévy.
Somma di Bernoulli = Binomiale (esattamente); il TLC dice che la Binomiale è circa Normale.
Il TLC è nato dall'esperienza: le evidenze empiriche hanno preceduto la formalizzazione.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 12–13). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 53. Il Teorema del Limite Centrale, dispensa pdf/53.pdf, 13 pagine fisiche. Premesse: pag. 3; formulazioni: pagg. 4–5; implicazioni ed esempi: pagg. 6–8; conclusioni: pag. 9; quiz: pagg. 12–13.