Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 7: Teoria asintotica

Lezione 52. La legge dei grandi numeri

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Che cosa dice la legge dei grandi numeri, in una frase?

Al crescere delle prove, la frequenza relativa (o la media campionaria) si stabilizza sul valore medio della popolazione.

Legge debole e legge forte: quale convergenza usano?

Debole: in probabilità. Forte: quasi certa. La forte implica la debole.

Perché si studia fₙ = Sₙ/n e non Sₙ?

Sₙ ha media nθ e varianza che crescono senza limite; fₙ ha media θ fissa e varianza θ(1−θ)/n → 0.

1 · In 30 secondi

Le leggi dei grandi numeri formalizzano un fatto sperimentale: la frequenza relativa di un evento si stabilizza sulla sua probabilità. Per prove di Bernoulli, fₙ = Sₙ/n ha E(fₙ) = θ e Var(fₙ) = θ(1−θ)/n → 0. Le leggi deboli usano la convergenza in probabilità, le forti la convergenza quasi certa. Prima versione: Jakob Bernoulli (1713); il nome è di Poisson (1837). Sono la base dell'interpretazione frequentista e della simulazione.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 38–39 (Bernoulli, Binomiale), lez. 28 (Čebyšëv), lez. 5 (probabilità frequentista)
Serve per	Lez. 53 (limite centrale: la DISTRIBUZIONE del limite), lez. 54 (simulazione)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

I quattro tipi di convergenza (dal meno al più stringente secondo la dispensa):

Tipo	Definizione	Simbolo
In distribuzione	lim Fₙ(x) = F(x): converge solo la forma della distribuzione	Xₙ →d X
In probabilità	∀ε > 0: lim Pr(\|Xₙ − X\| ≥ ε) = 0	Xₙ →p X
In media r-esima	lim E(\|Xₙ − X\|ʳ) = 0, r > 0 (r = 2: media quadratica)	Xₙ →m X
Quasi certa	Pr(lim Xₙ = X) = 1	Xₙ →q.c. X

Precisazione: in generale «quasi certa» e «in media r-esima» non si implicano a vicenda; entrambe implicano quella in probabilità, che implica quella in distribuzione. Il quiz considera la quasi certa la più stringente.

4 · Formule essenziali

Somma di successi	Sₙ = X₁ + … + Xₙ ∼ Bin(n, θ); E = nθ, Var = nθ(1−θ)
Frequenza relativa	fₙ = Sₙ/n; E(fₙ) = θ; Var(fₙ) = θ(1−θ)/n → 0
Legge debole (Bernoulli)	E(fₙ − θ)² → 0 ⟹ fₙ →m θ ⟹ fₙ →p θ
Legge forte (Borel)	Xₙ ∼ Ber(θ) ⟹ fₙ →q.c. θ

5 · Cuore della lezione

Mappa delle leggi (righe = leggi; colonne = ipotesi e conclusione):

Legge	Tipo	Ipotesi	Conclusione
Bernoulli	Debole	Xₙ ∼ Ber(θ) i.i.d.	fₙ →p θ
Borel	Forte	Xₙ ∼ Ber(θ) i.i.d.	fₙ →q.c. θ
Poisson	Debole	Bernoulli indipendenti con θᵢ diversi	fₙ − (1/n)Σθᵢ →p 0
Generale	Debole	i.i.d., E(Xₙ) = θ, E(Xₙ²) < ∞	fₙ →p θ
Čebyšëv	Debole	Indipendenti, (1/n²)Σσᵢ² → 0	fₙ − (1/n)Σθᵢ →p 0
Markov	Debole	Indipendenti, σₙ²/n → 0	fₙ − (1/n)Σθᵢ →p 0
Kolmogorov (i.i.d.)	Forte	i.i.d.; vale ⟺ E\|Xₙ\| < ∞	fₙ →q.c. θ
Kolmogorov (indip.)	Forte	Indipendenti, Σσᵢ²/i² < ∞	fₙ − (1/n)Σθᵢ →q.c. 0

Refusi della dispensa: «Ars Congedandi» va letto Ars Conjectandi; a pag. 6 «probabilità … vale 0» va letto θ; nel teorema di Kolmogorov per v.c. indipendenti il limite è 0, non θ.

6 · Trappole

Sₙ non converge: media e varianza crescono all'infinito; converge fₙ = Sₙ/n.
Debole = in probabilità; forte = quasi certa.
La forte implica sempre la debole, non il contrario.
Le leggi dei grandi numeri dicono DOVE converge la media, non con quale distribuzione (quello è il TLC).

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 14–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 52. La legge dei grandi numeri, dispensa pdf/52.pdf, 15 pagine fisiche. Nascita: pag. 3; tipi di convergenza: pagg. 4–5; prove bernoulliane: pag. 6; leggi deboli: pagg. 7–8; leggi forti: pagg. 9–10; quiz: pagg. 14–15.