Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 1: Spazi ed eventi
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Concetti primitivi (non si definiscono), postulati o assiomi (non si dimostrano), teoremi (si dimostrano a partire dai primi due).
L'assioma è assunto vero senza dimostrazione; il teorema è dimostrato logicamente a partire da assiomi o da altri teoremi.
Enunciato (o ipotesi), tesi, dimostrazione.
Il calcolo delle probabilità sarà costruito come sistema assiomatico: si parte da concetti primitivi non definibili e da assiomi non dimostrati, e da lì si dimostrano teoremi con regole logiche. Un sistema fatto bene è coerente (senza contraddizioni) e completo (ogni enunciato è decidibile); se trova riscontro applicativo, genera un modello.
| Richiede | Lez. 1 (fenomeni aleatori) |
| Serve per | Lez. 5 (concetti primitivi del calcolo), lez. 9 (postulati e teoremi della probabilità) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Concetto primitivo | Elemento non definibile, reso «scontato» da convinzioni universali; si esplicita con esempi e linguaggio | Numero (aritmetica); punto, retta, piano (geometria) | Il teorema di Pitagora (si dimostra) |
| Postulato o assioma | Affermazione non dimostrata o non dimostrabile, fondamento della teoria | «Esiste un'unica retta per due punti»; l'uguaglianza x = x | «La somma degli angoli di un triangolo è 180°» (si dimostra) |
| Teorema | Affermazione dimostrata logicamente a partire da assiomi o proposizioni derivate | Teorema di Pitagora; somma degli angoli = 180° | Gli assiomi di Euclide (non si dimostrano) |
| Regole logiche | Assiomi particolari, veri in ogni possibile interpretazione e assegnazione di valori | x = x, qualunque sia il contesto | Un'ipotesi empirica da verificare |
Lezione senza formule di calcolo. L'unica scrittura simbolica è la regola logica dell'uguaglianza: x = x, ∀x (pag. 6).
La struttura di un teorema (pag. 5)
| Enunciato (ipotesi) | Condizioni iniziali di partenza; arbitrarie, non si dimostrano |
| Tesi | La conseguenza da ottenere a partire dalle ipotesi |
| Dimostrazione | Procedura che porta dall'ipotesi alla tesi usando concetti primitivi, assiomi, regole logiche e teoremi già dimostrati |
Le 6 tecniche di dimostrazione (pagg. 5–6)
| Per definizione | Si usa una definizione già introdotta |
| Per un assioma | Si sfruttano le affermazioni dei postulati |
| Per un teorema precedente | Si ricorre a risultati già dimostrati |
| Per ipotesi assurda | Si suppone falsa la tesi e si arriva a una contraddizione |
| Per un passo precedente | Si riusano parti di dimostrazioni già svolte |
| Per induzione | Vale per il primo elemento e per un elemento qualsiasi → vale per tutti |
Esempio svolto della dispensa (pagg. 7–8): due rette distinte r ed s hanno al massimo un punto in comune. Dimostrazione per assurdo: se avessero due punti in comune, per l'assioma di unicità («per due punti passa una sola retta») sarebbero la stessa retta — contro l'ipotesi che siano distinte. Assurdo: la tesi è vera.
Qualità di un sistema assiomatico (pag. 9): consistente (o coerente) se non contiene enunciati veri e falsi insieme; completo se ogni enunciato si può dimostrare vero o falso. Un insieme coerente di teoremi con riscontro applicativo è un modello. Il calcolo delle probabilità è un sistema assiomatico coerente e completo.
Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 2. La Teoria Assiomatica, dispensa pdf/02.pdf, 14 pagine fisiche. Elementi del sistema: pagg. 3–4; struttura del teorema: pagg. 5–6; esempio svolto: pagg. 7–8; caratteristiche: pag. 9; quiz: pagg. 12–14. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 189–190.