Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità
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I: Pr(E) ≥ 0. II: Pr(Ω) = 1. III: per eventi incompatibili, Pr(Eᵢ ∪ Eⱼ) = Pr(Eᵢ) + Pr(Eⱼ).
Il III postulato vale solo per eventi incompatibili; l'inclusione-esclusione vale per eventi qualsiasi e sottrae Pr(A∩B).
1 − Pr(A): è il teorema della negazione.
La probabilità è una funzione Pr: E ⊆ Ω → [0, 1] che rispetta i tre postulati di Kolmogorov (non negatività, Pr(Ω) = 1, additività sugli incompatibili). Da questi tre assiomi si dimostrano tutti i teoremi della lezione: negazione, evento nullo, monotonia, limiti 0–1, inclusione-esclusione, disuguaglianza di Boole.
| Richiede | Lez. 2 (postulati vs teoremi), lez. 7–8 (algebra degli eventi, incompatibilità) |
| Serve per | Lez. 10 (condizionata), lez. 12 (equiprobabilità dai postulati) |
| Termine | Definizione breve | Esempio (dado) | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Funzione di probabilità | Associa a ogni evento E ⊆ Ω un numero reale in [0, 1] rispettando i postulati | Pr(E₂) = 1/6 | Una «probabilità» pari a 1,3 o a −0,2 |
| Postulato | Assioma non dimostrabile che fonda il calcolo (Kolmogorov, 1933) | Pr(Ω) = 1 | Pr(Ā) = 1 − Pr(A) (si dimostra: è un teorema) |
| Teorema del calcolo | Risultato dimostrato a partire dai postulati (o da altri teoremi) | Pr(∅) = 0 | Pr(Eᵢ) ≥ 0 (è il I postulato) |
| Nome | Formula | Ruolo | Pagina |
|---|---|---|---|
| I postulato | Pr(Eᵢ) ≥ 0 | Postulato | 2 |
| II postulato | Pr(Ω) = 1 | Postulato | 2 |
| III postulato | Eᵢ ∩ Eⱼ = ∅ ⟹ Pr(Eᵢ ∪ Eⱼ) = Pr(Eᵢ) + Pr(Eⱼ) | Postulato (solo incompatibili) | 2 |
| Differenza | Pr(B ∩ Ā) = Pr(B) − Pr(A ∩ B) | Teorema 1 | 5 |
| Negazione | Pr(Ā) = 1 − Pr(A) | Teorema 2 | 5 |
| Evento nullo | Pr(∅) = 0 | Teorema 3 | 6 |
| Monotonia | A ⊆ B ⟹ Pr(A) ≤ Pr(B) | Teorema 4 | 7 |
| Limiti | 0 ≤ Pr(E) ≤ 1 | Teorema 5 | 8 |
| Inclusione-esclusione | Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B) | Teoremi 6–7 (eventi qualsiasi) | 9–10 |
| Disuguaglianza di Boole | Pr(⋃ᵢ Eᵢ) ≤ Σᵢ Pr(Eᵢ) | Teorema 8 (= solo se incompatibili) | 10–11 |
Come si incastrano postulati e teoremi: ogni teorema discende dai tre postulati, spesso passando per un teorema precedente.
| Teorema 2 (negazione) | Dal teorema 1 con B = Ω |
| Teorema 3 (evento nullo) | Dal II postulato + teorema 2 |
| Teorema 5 (limiti 0–1) | Dal teorema 4 + ∅ ⊆ E ⊆ Ω |
| Teorema 8 (Boole) | Dai teoremi 6–7 + teorema 5 |
Esempio guida (esempi 9.6–9.7, pagg. 10–11): dado, A = «pari» = {E₂,E₄,E₆}, B = «≤ 4» = {E₁,…,E₄}. A ∩ B = {E₂,E₄} ≠ ∅, quindi niente III postulato: serve l'inclusione-esclusione, Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(E₂,E₄). E poiché Pr(A∩B) ≥ 0, vale sempre Pr(A∪B) ≤ Pr(A) + Pr(B): la disuguaglianza di Boole.
Il monito della lezione (pag. 3): mai confondere eventi e probabilità. La funzione Pr «proietta» l'algebra degli eventi (unioni, intersezioni) nell'algebra dei numeri (somme, differenze): sono spazi diversi.
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 9. Lo spazio di Probabilità, dispensa pdf/09.pdf, 16 pagine fisiche. Postulati: pagg. 2–3; teoremi 1–8: pagg. 5–11; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 204–206.