Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 1: Spazi ed eventi
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Prova, evento e probabilità (teoria assiomatica di Kolmogorov).
L'elementare non è scomponibile in altri eventi (è un «mattone»); il composto è una combinazione di più eventi.
Prova: 𝒫 in corsivo; eventi: lettere maiuscole A, B, C… o E₁, E₂, …; probabilità: funzione Pr(·).
Il calcolo delle probabilità è il sistema assiomatico di Kolmogorov, costruito su tre concetti primitivi: la prova (esperimento soggetto a incertezza), l'evento (uno dei possibili risultati della prova) e la probabilità (numero che quantifica il verificarsi di un evento). Da qui in poi tutto il corso usa queste tre parole con questo significato esatto.
| Richiede | Lez. 2 (concetti primitivi, assiomi, teoremi), lez. 4 (misure di probabilità) |
| Serve per | Lez. 6 (le prove), lez. 7 (gli eventi), lez. 9 (lo spazio di probabilità) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Prova | Descrizione delle procedure per condurre un esperimento soggetto a incertezza, identificandone cause, effetti e possibili eventi | Lancio di un dado; estrazione da un'urna; test di un farmaco | Il risultato «è uscito 4» (quello è un evento) |
| Prova completa | Prova di cui si analizzano in modo esaustivo tutti i possibili effetti e circostanze | Dado: elenco di tutti e 6 gli esiti | Un esperimento con esiti non elencati |
| Evento | Uno dei possibili risultati che si possono ottenere da una prova | «Esce testa»; «esce una carta di denari» | Un «accadimento importante» nel senso comune |
| Evento elementare / composto | Elementare: non scomponibile in altri eventi. Composto: combinazione di più eventi | «Esce il 3» / «esce un numero pari» | — |
| Probabilità | Numero associato alla possibilità che un evento si verifichi, qualunque sia la natura dell'evento | Pr(carta napoletana fissata) = 1/40 | Una certezza sul singolo esito |
| Notazione | Significato | Pagina |
|---|---|---|
| 𝒫 (corsivo) | Una prova; 𝒫₁, 𝒫₂ le sottoprove; 𝒫 = 𝒫₁ × 𝒫₂ la prova combinata | 11 |
| A, B, C…; E₁, …, Eₘ | Eventi (lettere maiuscole latine, con pedici per le successioni) | 11 |
| Pr(·), Pr(E) | La funzione probabilità e la probabilità dell'evento E | 11 |
| E ∈ Ω / E ⊆ Ω | Evento elementare appartenente / evento composto incluso nello spazio Ω (anticipato per la lez. 7) | 12 |
I tre concetti primitivi di Kolmogorov (pag. 2)
| Prova | Qualsiasi esperimento soggetto a incertezza |
| Evento | Uno dei possibili risultati ottenibili dalla prova |
| Probabilità | Numero che «quantifica» il verificarsi di un evento |
Perché descrivere la prova nei dettagli (pagg. 3–5): modalità diverse → esiti diversi. L'estrazione di due carte può avvenire in blocco, senza ripetizione o con ripetizione, e la scelta cambia le probabilità; perfino chi esegue l'estrazione (un prestigiatore) può alterare il risultato. Le condizioni marginali (luogo, tempo, temperatura) si trascurano.
Esempio guida (esempio 5.5, pag. 7): il lancio di due monete è una prova composta da due sottoprove. Gli esiti di ciascuna sono T e C, ma la prova complessiva ha 4 eventi: E₁ = TT, E₂ = TC, E₃ = CT, E₄ = CC. Gli esiti si contano sulla prova intera, non sulle sottoprove.
Gli eventi estremi (pagg. 9–10): ogni probabilità sta tra quella dell'evento che non si verifica mai (valore 0) e quella dell'evento sempre verificato (valore 1). Urna con 5 palline bianche: «estraggo bianca» vale 1, «estraggo rossa» vale 0.
Domande originali della dispensa (pagg. 14–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 5. Concetti primitivi del calcolo delle probabilità, dispensa pdf/05.pdf, 17 pagine fisiche. Concetti primitivi: pag. 2; prove: pagg. 3–5; eventi: pagg. 6–7; probabilità: pagg. 8–10; notazioni: pag. 11; quiz: pagg. 14–16. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 190–192.