Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 1: Spazi ed eventi

Lezione 8. L'algebra di Boole e il diagramma di Venn

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

A cosa servono i diagrammi di Venn, e a cosa NON servono?

Servono a visualizzare le relazioni tra eventi. Non dimostrano nulla: né teoremi né postulati.

Quando due eventi sono incompatibili? E quando necessari?

Incompatibili: A ∩ B = ∅ (non possono accadere insieme). Necessari: A ∪ B = Ω (almeno uno accade di sicuro).

Quali tre condizioni definiscono una partizione?

Eventi non nulli, necessari (coprono Ω) e incompatibili a due a due (non si sovrappongono).

1 · In 30 secondi

Il diagramma di Venn traduce in figura l'algebra degli eventi: visualizza, ma non dimostra. Quattro relazioni da riconoscere: incompatibili (∩ vuota), necessari (∪ = Ω), partizione (coprono Ω senza sovrapporsi), inclusione (B ⊆ A: quando accade B accade anche A).

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 7 (unione, intersezione, negazione, Ω e ∅)
Serve per	Lez. 9 (teoremi: P su eventi incompatibili), lez. 11 (legge delle probabilità totali, partizioni), lez. 14 (Bayes su partizioni)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio (urna 1–20)	Non-esempio
Eventi incompatibili	Non possono verificarsi contemporaneamente: A ∩ B = ∅	Pari e dispari	«≤ 15» e «≥ 10» (hanno 10–15 in comune)
Eventi necessari	La loro unione copre lo spazio campione: A ∪ B = Ω; possono anche sovrapporsi	«≤ 15» e «≥ 10»	«Pari» e «≥ 18» (lasciano fuori 1, 3, …)
Partizione	Eventi non nulli, necessari e incompatibili a due a due: coprono Ω senza sovrapporsi	{Pari, Dispari}	{«≤ 15», «≥ 10»}: necessari ma sovrapposti
Inclusione B ⊆ A	Ogni volta che si verifica B si verifica anche A; antisimmetrica e transitiva	«≥ 18» ⊆ «≥ 10»	Il viceversa: «≥ 10» non è incluso in «≥ 18»

4 · Formule essenziali

Relazione	Formula	Pagina
Incompatibilità	A ∩ B = ∅; a due a due: Eᵢ ∩ Eⱼ = ∅ per i ≠ j	6
Necessarietà	A ∪ B = Ω; ⋃ᵢ Eᵢ = Ω	7
Partizione	Eᵢ ≠ ∅, ⋃ᵢ Eᵢ = Ω, Eᵢ ∩ Eⱼ = ∅ (i ≠ j)	8
Antisimmetria	B ⊆ A e A ⊆ B ⟹ A = B	9
Transitività	A ⊆ B e B ⊆ C ⟹ A ⊆ C	9

5 · Cuore della lezione

Le quattro relazioni, viste con Venn (ridisegni semplificati delle figure 5–8 del PDF)

Ridisegno schematico: per le figure originali vedi pdf/08.pdf, pagg. 2–9.

Esempio guida (esempio 8.1, pagg. 10–11): urna con 20 palline numerate. A = pari, B = dispari, C = «≤ 15», D = «≥ 10», F = «≥ 18». Allora: A e B incompatibili e necessari → partizione; C e D necessari ma NON partizione (C ∩ D = {10,…,15} ≠ ∅); F ⊆ D ma non il viceversa.

Il limite dello strumento (pagg. 3 e 12): tra insiemi ed eventi c'è un isomorfismo, ma un evento non È un insieme; e i diagrammi visualizzano le relazioni, non le dimostrano.

6 · Trappole

Necessari non vuol dire incompatibili. Due eventi possono coprire Ω e avere pezzi in comune (C e D nell'esempio).
Partizione = necessari + incompatibili + non nulli. Mancando una sola condizione, non è partizione.
Venn non dimostra. Rappresenta relazioni tra eventi; teoremi e postulati si dimostrano con l'algebra, non con un disegno.
L'inclusione non è simmetrica: F ⊆ D non implica D ⊆ F; vale l'uguaglianza solo se valgono entrambe.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 14–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 8. L'algebra di Boole e il diagramma di Venn, dispensa pdf/08.pdf, 17 pagine fisiche. Venn e operazioni: pagg. 2–4; incompatibili: pag. 6; necessari: pag. 7; partizione: pag. 8; inclusione: pag. 9; esempio: pagg. 10–11; quiz: pagg. 14–16. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 195–204.