Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 1: Spazi ed eventi

Lezione 7. Gli eventi

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quali sono le tre operazioni dell'algebra degli eventi?

Unione (∪: almeno uno si verifica), intersezione (∩: entrambi si verificano), negazione (Ā: l'evento non si verifica).

Che cosa dicono le leggi di De Morgan?

Il complemento dell'intersezione è l'unione dei complementi, e viceversa: non(A∩B) = Ā∪B̄; non(A∪B) = Ā∩B̄.

Che cosa sono Ω e ∅?

Ω è lo spazio campione, l'evento certo (qualcosa accade sempre); ∅ è l'evento impossibile, la sua negazione.

1 · In 30 secondi

Gli eventi si combinano con l'algebra degli eventi, un'algebra di Boole completa: unione («almeno uno»), intersezione («entrambi»), negazione («non»). Lo spazio campione Ω è l'evento certo, ∅ quello impossibile. Le leggi di De Morgan collegano unione e intersezione attraverso la negazione.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 5 (evento, notazioni)
Serve per	Lez. 8 (Venn e relazioni tra eventi), lez. 9 (postulati su unioni), lez. 11 (indipendenza e incompatibilità)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Unione A ∪ B	«A oppure B»: almeno uno dei due è verificato (anche entrambi)	Dado: «≥ 5» = E₅ ∪ E₆	«Entrambi si verificano» (quella è ∩)
Intersezione A ∩ B	«A e B»: entrambi verificati contemporaneamente	«Esce il 2» = {pari} ∩ {≤ 2}	«Almeno uno» (quella è ∪)
Negazione Ā	L'evento che si verifica quando A non si verifica; la doppia negazione ridà A	Moneta: T̄ = C	Un evento incompatibile qualsiasi
Ω e ∅	Ω: collezione di tutti gli eventi della prova, evento certo. ∅ = Ω̄: evento impossibile	Dado: Ω = {1,…,6}	Un esito particolare della prova

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Si legge	Pagina
Unione	C = A ∪ B; ⋃ᵢ Eᵢ	Almeno uno verificato	3
Intersezione	C = A ∩ B; ⋂ᵢ Eᵢ	Tutti verificati insieme	5
Doppia negazione	Ā̄ = A	Negare due volte ridà l'evento	7
Certo / impossibile	Ω̄ = ∅; ∅̄ = Ω	Uno è il complemento dell'altro	7
De Morgan	non(A∩B) = Ā ∪ B̄; non(A∪B) = Ā ∩ B̄	La negazione scambia ∪ e ∩	9

5 · Cuore della lezione

Le proprietà di unione e intersezione (Tabella 1 della dispensa, pag. 8)

Proprietà	Unione	Intersezione
Elemento neutro	A ∪ ∅ = A	A ∩ Ω = A
Idempotenza	A ∪ A = A	A ∩ A = A
Commutatività	A ∪ B = B ∪ A	A ∩ B = B ∩ A
Associatività	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)	(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Distributività	A ∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ (A∩C)	A ∪ (B ∩ C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

Esempio guida con De Morgan (esempio 7.6, pag. 9): A = «domani piove», B = «domani ho l'ombrello». L'evento «non avverrà che piove e ho l'ombrello insieme», non(A∩B), diventa Ā ∪ B̄: «domani o non piove o non ho l'ombrello» — molto più leggibile.

Nota di struttura (pag. 2): per definire l'algebra bastano due operatori, unione e negazione; l'intersezione si ricava combinandoli (via De Morgan). Le operazioni «essenziali» da elencare restano però tre.

6 · Trappole

∪ non è «oppure esclusivo». A ∪ B è verificato anche quando A e B accadono insieme.
Negazione ≠ incompatibilità. Ā è il complemento esatto di A; due eventi incompatibili qualsiasi non sono per forza l'uno la negazione dell'altro.
La negazione scambia gli operatori: negando un'intersezione si ottiene un'unione (De Morgan), non un'altra intersezione.
A ∩ B̄ si legge «A sì, B no»: piove E non ho l'ombrello. Trascurare la barra su un solo evento è l'errore classico del quiz.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 7. Gli eventi, dispensa pdf/07.pdf, 15 pagine fisiche. Algebra degli eventi: pagg. 2–3; unione: pagg. 3–4; intersezione: pagg. 5–6; negazione: pag. 7; dualismo e De Morgan: pagg. 8–9; quiz: pagg. 12–14. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 195–204.