Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità
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Pr(B|A) = Pr(A∩B) / Pr(A), con Pr(A) > 0. Si legge «probabilità di B dato A».
In generale no: la probabilità condizionata non è simmetrica (denominatori diversi).
Zero: una volta accaduto A, l'evento B non può più verificarsi.
La probabilità condizionata Pr(B|A) = Pr(A∩B)/Pr(A) misura la probabilità di B una volta saputo che A si è verificato: «aggiorna» Pr(B) con l'informazione nuova. Richiede Pr(A) > 0, soddisfa tutti i postulati di Kolmogorov, non è simmetrica, e invertendola dà la formula della probabilità dell'intersezione.
| Richiede | Lez. 9 (postulati), lez. 6 (estrazioni con/senza ripetizione) |
| Serve per | Lez. 11 (indipendenza), lez. 14 (teorema di Bayes) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Probabilità condizionata Pr(B|A) | Probabilità che si verifichi B una volta saputo che A si è verificato: Pr(A∩B)/Pr(A) | Seconda estrazione senza ripetizione, noto l'esito della prima | Pr(A∩B): quella è la probabilità congiunta |
| Evento condizionante | L'evento A già verificato che può influenzare la probabilità di B; deve avere Pr(A) > 0 | «Rossa alla prima estrazione» | Un evento impossibile (Pr = 0 a denominatore) |
| «Evento condizionato B|A» | Non esiste come evento: esistono solo A e B; B|A descrive una relazione tra probabilità | — | Disegnare «B|A» sul diagramma di Venn |
| Nome | Formula | Condizione | Pagina |
|---|---|---|---|
| Definizione | Pr(B|A) = Pr(A∩B) / Pr(A) | Pr(A) > 0 | 3 |
| Non simmetria | Pr(A|B) = Pr(A∩B) / Pr(B) ≠ Pr(B|A) in generale | Pr(B) > 0 | 3 |
| Incompatibili | A∩B = ∅ ⟹ Pr(B|A) = 0 | — | 8 |
| Condizionante certo | A = Ω ⟹ Pr(B|A) = Pr(B) | — | 9 |
| B incluso in A | B ⊆ A ⟹ Pr(B|A) = Pr(B)/Pr(A) | — | 10 |
| Formula alternativa (intersezione) | Pr(A∩B) = Pr(B|A)·Pr(A) = Pr(A|B)·Pr(B) | denominatori > 0 | 12 |
Il condizionamento restringe lo spazio campione: saputo A, il «nuovo» spazio è ΩA = Ω ∩ A = A; tutto ciò che è fuori da A diventa impossibile. Pr(·|A) è una probabilità a tutti gli effetti: soddisfa i tre postulati (pagg. 4–5).
I casi notevoli, in tabella
| Situazione | Risultato | Lettura |
|---|---|---|
| A∩B = ∅ | Pr(B|A) = 0 | Accaduto A, l'incompatibile B è impossibile |
| A = Ω | Pr(B|A) = Pr(B) | Condizionare al certo non aggiunge informazione |
| B ⊆ A | Pr(B|A) = Pr(B)/Pr(A) | La probabilità di B «riscalata» sul nuovo spazio A |
| Caso generale | da calcolare | Senza altre informazioni nulla si può dire su Pr(B|A) vs Pr(B) |
Esempio guida (esempi 10.1–10.2, pagg. 5–6): urna con 4 bianche e 1 rossa, due sottoprove. Con ripetizione, l'urna torna identica: è plausibile Pr(B|A) = Pr(B). Senza ripetizione, la composizione cambia a ogni estrazione: la probabilità della seconda dipende dall'esito della prima, e serve proprio Pr(B|A).
Domande originali della dispensa (pagg. 15–17). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 10. Probabilità condizionata, dispensa pdf/10.pdf, 17 pagine fisiche. Definizione: pag. 3; postulati: pagg. 4–5; Venn e casi notevoli: pagg. 7–11; formule alternative: pag. 12; quiz: pagg. 15–17. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 207–209.