Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali
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Quando conosciamo i valori che può assumere e le rispettive probabilità: Pr(X = xᵢ) = pᵢ.
pᵢ ≥ 0 per ogni i, e Σ pᵢ = 1 (sono i postulati tradotti sui valori).
Trasformare una v.c. continua in discreta (es. «durata < 2 ore: sì/no»), semplificando al costo di perdere informazione.
Una v.c. discreta ha supporto finito o numerabile: si conosce elencando valori e probabilità. È ben definita se pᵢ ≥ 0 e Σ pᵢ = 1. Nasce discreta (conteggi, estrazioni, giochi) o lo diventa per discretizzazione di una grandezza continua. La domanda da porsi sempre: «posso elencare gli esiti?» Sì → discreta.
| Richiede | Lez. 17 (definizione di v.c., supporto) |
| Serve per | Lez. 21–22 (ripartizione e massa di probabilità), lez. 37–40 (modelli discreti: Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Poisson) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| V.c. discreta | Corrispondenza tra (Ω, A, Pr) e un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali | Persone in fila; biglietti venduti; «mi piace» | Durata di un viaggio (continua) |
| Buona definizione | pᵢ ≥ 0 ∀i e Σᵢ pᵢ = 1; nessun vincolo sui valori del supporto | Tombola: 90 probabilità da 1/90 | Probabilità che sommano a 0,9 |
| Discretizzazione | Trasformazione di una v.c. continua in discreta tramite soglie o classi, con perdita di informazione | Durata Roma–Napoli → «sotto/sopra 2 ore» | Un conteggio, che è discreto dalla nascita |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Conoscenza della v.c. | Pr(X = xᵢ) = pᵢ, i = 1, …, n | 4 |
| Buona definizione | pᵢ ≥ 0 ∀i; Σᵢ pᵢ = 1 | 4 |
| Attesa del primo pari (esempio 18.1) | Pr(X = i) = (1−θ)^(i−1)·θ; Pr(X > 4) = (1−θ)⁴ | 5–7 |
Esempio svolto (esempio 18.1, pagg. 5–7): urna con proporzione θ di palline pari; si estrae con ripetizione finché non esce un pari. X = «numero di estrazioni necessarie». Supporto numerabile {1, 2, 3, …}; Pr(X = i) = (1−θ)^(i−1)·θ (i−1 dispari, poi un pari). È ben definita: la serie somma a 1. E Pr(X > 4) = (1−θ)⁴ si ottiene in tre modi equivalenti: complemento della somma, serie geometrica, o ragionando «quattro dispari di fila, prove indipendenti». Quando tre strade danno lo stesso numero, il risultato è solido (controllo di coerenza).
Il paragone con la statistica descrittiva (pag. 4): le variabili statistiche hanno modalità e frequenze; le v.c. discrete hanno valori e probabilità. Stessa struttura, mondi diversi: la frequenza si osserva, la probabilità si assegna.
Classificare: la palestra del quiz. Conteggi (persone, biglietti, like, esami, tamponi, regioni) → discreti. Misure fisiche (tempo, altezza, durata) → continue, ma discretizzabili con soglie o classi.
Domande originali della dispensa (pagg. 10–12): tutte di classificazione. Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 18. Variabili Casuali Discrete, dispensa pdf/18.pdf, 12 pagine fisiche. Definizione e discretizzazione: pagg. 2–3; buona definizione: pag. 4; esempio svolto: pagg. 5–7; quiz: pagg. 10–12. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 246–249.