Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali
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Una funzione misurabile che associa a ogni evento E ⊆ Ω un unico numero reale: X(E) = x ∈ ℝ.
È sempre univoca (un evento, un numero), ma non sempre biunivoca: più eventi possono dare lo stesso numero (es. somma di due dadi = 4 in 3 modi).
Tornando agli eventi che lo generano: Pr(X ∈ A) = Pr(X⁻¹(A)), la probabilità dell'evento immagine inversa.
Una variabile casuale (v.c.) traduce gli eventi in numeri: X: E ⊆ Ω → ℝ. Serve perché spesso interessa una sintesi (quanti «sì» su 40 interviste) e non ogni singola sequenza, e perché i numeri permettono ordinamenti e aspettative. La probabilità sui valori è indotta da quella sugli eventi tramite l'immagine inversa. I valori con probabilità positiva formano il supporto; supporto discreto o continuo divide le v.c. in due famiglie.
| Richiede | Lez. 9 (spazio di probabilità), lez. 12 (equiprobabilità) |
| Serve per | Lez. 18 (discrete), lez. 19 (continue), tutto il resto del corso |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Variabile casuale X | Funzione misurabile a valori reali definita su Ω: a ogni evento un unico numero | Dado: X(Eᵢ) = i | Una «variabile» i cui valori non vengono da una prova |
| Supporto della v.c. | Insieme dei valori che la v.c. può assumere con probabilità positiva | 3 monete, X = n. teste: {0, 1, 2, 3} | Lo spazio Ω degli eventi (quello è il dominio) |
| Funzione misurabile | L'immagine inversa X⁻¹(A) di ogni insieme A è un evento: così la probabilità si trasporta sui valori | Pr(X ≤ 2) calcolata dagli eventi che la generano | — |
| Distribuzione indotta PrX | La misura di probabilità sui valori, ereditata da quella su Ω: Pr_X(X ∈ A) = Pr_Ω(X⁻¹(A)) | Pr(X = 1) = 3/8 con 3 monete | Una probabilità assegnata ai numeri senza passare dagli eventi |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Definizione di v.c. | X: E ⊆ Ω → X(E) = x ∈ ℝ | 4 |
| Probabilità indotta | Pr_X(X ∈ A) = Pr_Ω(X⁻¹(A)) = Pr_Ω(E) | 7 |
| Spazio di probabilità | (Ω, A, Pr), con A σ-algebra generata da Ω | 6 |
Perché servono le v.c. (pagg. 2–3): 1) interessa una trasformazione dello spazio (il totale dei favorevoli, non le 2⁴⁰ sequenze); 2) serve una relazione d'ordine per decidere tra prove incerte (l'aspettativa). La v.c. porta l'algebra e l'ordine dei numeri reali dentro il calcolo delle probabilità.
Esempio guida (esempio 17.3, pagg. 8–9): lancio di 3 monete, Ω ha 8 eventi equiprobabili (1/8). X = «numero di teste» genera Ω_X = {0, 1, 2, 3} con probabilità 1/8, 3/8, 3/8, 1/8: da uno spazio equiprobabile a uno NON equiprobabile. Da qui: Pr(X ≤ 2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Univoca ma non biunivoca (pagg. 6–7): con due dadi, S = somma dà 4 da tre coppie diverse e 7 da sei coppie. Stessa prova, più v.c. possibili: X = punti della faccia, Y = 7 − i (faccia sotto), S = somma, T = |differenza|, U = massimo. La v.c. è una scelta del ricercatore, non un dato della prova.
Nota terminologica (pag. 3): «variabile casuale», «aleatoria», «stocastica» sono equivalenti nell'uso; la dispensa adotta «casuale» (Cantelli, 1916).
Domande originali della dispensa (pagg. 11–13). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 17. Introduzione alle Variabili Casuali, dispensa pdf/17.pdf, 13 pagine fisiche. Motivazioni: pagg. 2–3; definizione: pagg. 4–5; spazio di probabilità: pagg. 6–9; quiz: pagg. 11–13. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 245–246.