Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali
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Quando conosciamo F(x) (ripartizione) oppure f(x) (densità): l'una determina l'altra.
Zero, per ogni x: l'area di un «rettangolo» senza base è nulla. Le probabilità si calcolano sugli intervalli.
No: è proporzionale alla probabilità. La probabilità è l'area sotto la curva su un intervallo.
Una v.c. continua assume tutti i valori di un intervallo reale: impossibile elencarli, quindi la probabilità si assegna agli intervalli, come area sotto la funzione di densità f(x). È ben definita se f(x) ≥ 0 e l'integrale su ℝ vale 1. Conseguenza chiave: ogni singolo valore ha probabilità zero.
| Richiede | Lez. 17 (v.c.), lez. 18 (confronto col discreto) |
| Serve per | Lez. 21–22 (ripartizione e densità in dettaglio), lez. 41–50 (modelli continui: Uniforme, Esponenziale, Normale…) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| V.c. continua | Funzione misurabile a valori reali su uno spazio di probabilità continuo; assume tutti i valori di un intervallo | Durata di una corsa; direzione del vento | Numero di siti visitati (conteggio) |
| Funzione di densità f(x) | Funzione ≥ 0 con integrale 1; l'area che sottende su un intervallo è la probabilità dell'intervallo | f(x) = e⁻ˣ per x ≥ 0 (durata lampadina) | La probabilità stessa (f può superare 1) |
| Funzione di ripartizione F(x) | F(x) = Pr(X ≤ x) = ∫₋∞ˣ f(w) dw; f è la sua derivata | Pr(lampadina ≤ 200 ore) = 1 − e⁻² | Un evento (F è una probabilità, un numero) |
| Assenza di memoria | Pr(X ≥ t+s | X ≥ s) = Pr(X ≥ t): il passato trascorso non conta | La v.c. esponenziale della lampadina | Una v.c. qualsiasi: è una proprietà speciale |
| Nome | Formula | Pagina |
|---|---|---|
| Conoscenza della v.c. | F(x) = Pr(X ≤ x) = ∫₋∞ˣ f(w) dw; f(x) = dF/dx | 3 |
| Buona definizione | f(x) ≥ 0; ∫₋∞⁺∞ f(x) dx = 1 | 4 |
| Probabilità di un intervallo | Pr(x₀ ≤ X ≤ x₁) = F(x₁) − F(x₀) = ∫ₓ₀ˣ¹ f(x) dx | 7 |
| Probabilità puntuale | Pr(X = x₀) = 0, ∀x₀ | 10 |
| Normalizzazione di una h(x) ≥ 0 | se ∫h = K > 0, allora h(x)/K è una densità legittima | 4 |
Discreto vs continuo:
| Criterio | Discreta | Continua |
|---|---|---|
| Supporto | Elencabile | Intervallo reale |
| Si conosce tramite | Coppie (valore, probabilità) | F(x) oppure f(x) |
| Pr(X = x) | Può essere > 0 | Sempre 0 |
| Probabilità si calcola su | Valori singoli e somme | Intervalli (aree, integrali) |
Esempio svolto (esempio 19.4, pagg. 8–9): X = durata di una lampadina in centinaia di ore, f(x) = e⁻ˣ per x ≥ 0. Ben definita: ∫₀^∞ e⁻ˣ dx = 1. Allora Pr(X > 0,2) = e⁻⁰·² ≈ 0,819; Pr(0,2 ≤ X ≤ 0,5) = e⁻⁰·² − e⁻⁰·⁵ ≈ 0,212; Pr(X ≤ 2) = 1 − e⁻² ≈ 0,865. In generale Pr(X ≥ t) = e⁻ᵗ, da cui l'assenza di memoria: la lampadina «non invecchia».
Il trucco del supporto esteso (esempio 19.2, pag. 6): ogni v.c. continua si tratta come definita su tutto ℝ, ponendo f(x) = 0 dove i valori non sono plausibili. Così teoremi e dimostrazioni valgono uniformemente senza specificare ogni volta il supporto.
Domande originali della dispensa (pagg. 13–15). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 19. Variabili Casuali Continue, dispensa pdf/19.pdf, 15 pagine fisiche. Definizione: pagg. 2–4; esempi: pagg. 5–9; problematiche del continuo: pag. 10; quiz: pagg. 13–15. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020.