Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 3: Variabili casuali — dispensa di esempi
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Pr(X = 2) + Pr(X = 3) = 3/8 + 1/8 = 1/2.
La statistica classifica dati già rilevati (nessuna aleatorietà); la casuale è legata a un esperimento con esito ignoto.
Come differenza di aree: F(2000) − F(1500), cioè l'integrale della densità sull'intervallo.
Due casi completi: il lancio di 3 monete (v.c. discreta: tabella dei valori, diagramma a barre, ripartizione a gradini) e i redditi dei lavoratori (v.c. continua: curva di densità, probabilità come aree, ripartizione continua che tende a 1). Stessa logica in entrambi: definire la v.c., verificare che sia ben definita, poi calcolare le probabilità degli eventi di interesse.
| Richiede | Lez. 18 (discrete), lez. 19 (continue) |
| Serve per | Lez. 21–22 (le due funzioni in dettaglio); anticipa la Binomiale (lez. 39) |
| Termine | Definizione breve | Esempio |
|---|---|---|
| Variabile statistica | Classificazione empirica di dati rilevati: nessuna componente aleatoria | I voti già verbalizzati di un corso |
| Variabile su popolazione | Dato osservato su ogni unità (censimento): varia tra unità ma senza incertezza | Età di tutti i residenti al censimento |
| Variabile casuale | Legata a un esperimento: esito ignoto, probabilità assegnate agli esiti | Reddito di un lavoratore estratto a caso |
| 3 monete (Tabella 1, pag. 3) | Pr(X=0) = 1/8; Pr(X=1) = 3/8; Pr(X=2) = 3/8; Pr(X=3) = 1/8 |
| Evento composto | Pr(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 = 1/2 |
| Intervallo (continua) | Pr(1500 ≤ X ≤ 2000) = ∫ f = F(2000) − F(1500) = 0,998 − 0,92 = 0,078 |
Esempio discreto svolto (pagg. 3–6): X = «n. di teste in 3 lanci». 8 combinazioni equiprobabili → 4 valori con probabilità 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 (v.c. simmetrica, massa al centro). Ben definita: tutte ≥ 0, somma 1. Grafici: barre per la massa, gradini per la ripartizione. Scommettere su «almeno 2 teste» è un gioco alla pari: Pr = 1/2, calcolabile sia per valori (3/8+1/8) sia per eventi elementari (4 × 1/8).
Esempio continuo svolto (pagg. 7–11): X = reddito di un lavoratore preso a caso, modellato con una curva di densità. Pr(X = 928,50 €) = 0 come ogni valore esatto; contano gli intervalli: Pr(1500 ≤ X ≤ 2000) = differenza tra aree = 0,078 (meno dell'8%). La ripartizione è una curva continua che sale da 0 verso 1 (asintoto): non tocca mai esattamente 1 perché nessun tetto di reddito è certo.
Simmetria (richiamo del quiz): il conteggio di teste su n lanci è simmetrico solo se p = 1/2; con una moneta sbilanciata la massa si sposta da un lato.
Domande originali della dispensa (pagg. 14–16). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 20. Le Variabili Casuali: esempi e applicazioni, dispensa pdf/20.pdf, 16 pagine fisiche. Distinzioni: pag. 2; esempio monete: pagg. 3–6; esempio redditi: pagg. 7–11; quiz: pagg. 14–16. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020.