Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 36. Trasformazioni, convergenza e famiglie di v.c.

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Come si ottiene la ripartizione di Y = T(X) se T è monotona crescente?

F_Y(y) = Pr(T(X) ≤ y) = Pr(X ≤ T⁻¹(y)) = F_X(T⁻¹(y)).

Quando una successione Xₙ converge in distribuzione a X?

Quando lim Fₙ(x) = F(x) in tutti i punti in cui F è continua.

Che cos'è una famiglia parametrica di v.c.?

Un insieme di v.c. con la stessa forma funzionale, che si distinguono solo per il valore numerico del parametro θ.

1 · In 30 secondi

Lezione-ponte verso i modelli. Tre idee: 1) le trasformazioni Y = T(X): dalla distribuzione di X si ricava quella di Y (immediato se T è monotona); 2) la convergenza in distribuzione: Fₙ → F nei punti di continuità, anche verso una costante (v.c. di Dirac); 3) le famiglie parametriche: stessa forma, membri distinti solo dal parametro θ — la «famiglia Bianchi» dei nomi propri.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 21 (ripartizione), lez. 24 (degenere)
Serve per	Lez. 37–50 (ogni distribuzione è una famiglia parametrica), lez. 51–53 (convergenza: grandi numeri e limite centrale)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Trasformazione T(X)	Nuova v.c. ottenuta applicando una funzione a una v.c. nota	Diametro → volume di una sfera	Una v.c. senza legame con X
Convergenza in distribuzione	Xₙ → X se lim Fₙ(x) = F(x) nei punti di continuità di F	Binomiale → Normale (lez. 53)	lim Fₙ(x) = Pr(X = x)
Distribuzione di Dirac	V.c. degenere: F = 0 per x < θ, 1 per x ≥ θ; vale θ con probabilità 1	Limite di una successione verso una costante	Una Bernoulli con θ ∈ (0,1)
Famiglia parametrica	X ∼ F(x; θ), θ ∈ spazio parametrico: stessa forma, membri distinti dal valore di θ	Bernoulli(θ), Nakagami(µ, ω)	V.c. con la stessa media ma forme diverse

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
T monotona crescente	F_Y(y) = Pr(X ≤ T⁻¹(y)) = F_X(T⁻¹(y))	5
T monotona decrescente	F_Y(y) = Pr(X ≥ T⁻¹(y))	5
Convergenza in distribuzione	lim_{n→∞} Fₙ(x) = F(x)	6–7
Dirac	F(x) = 0 se x < θ; 1 se x ≥ θ	7

5 · Cuore della lezione

Esempio discreto (esempio 36.1): dado onesto, T = (2X − 7)². Per x = 1,…,6 si ottiene t = 25, 9, 1, 1, 9, 25: supporto {1, 9, 25}, ciascun valore con probabilità 2/6 = 1/3. Regola: si calcolano i valori trasformati e si sommano le probabilità di quelli coincidenti.

Esempio continuo (esempio 36.2): X con f(x) = e⁻ˣ, F(x) = 1 − e⁻ˣ, x ≥ 0; Y = X² è monotona crescente su x ≥ 0. F_Y(y) = Pr(X ≤ √y) = 1 − e^(−√y); derivando: f_Y(y) = e^(−√y)/(2√y). Il punto delicato non sono i conti, ma il dominio della trasformazione.

Tre strumenti per trasformare (pag. 4): ripartizione, densità, funzione caratteristica (o generatrice dei momenti). La convergenza in distribuzione equivale alla convergenza delle funzioni caratteristiche (Lévy–Cramér).

6 · Trappole

Con T decrescente il verso si inverte: ≤ diventa ≥.
Il supporto si trasforma: T = (2X−7)² ha 3 valori, non 6.
Famiglia = stessa forma, non stessa distribuzione: i membri differiscono per θ.
La convergenza in distribuzione può puntare a una costante (Dirac): è ancora una v.c. ben definita.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa. Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 36. Trasformazioni, convergenza e introduzione ai modelli di v.c., dispensa pdf/36.pdf. Trasformazioni: pagg. 3–5; convergenza: pagg. 6–7; famiglie: pagg. 8–9. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 284–285.