Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità
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1/n, costante su S = {1, …, n}.
E(X) = (n+1)/2; Var(X) = (n² − 1)/12.
Simmetrica (γ₁ = 0), platicurtica (γ₂ = 1,8), senza moda.
La Uniforme discreta Ud(n) assegna la stessa probabilità 1/n a ciascuno dei valori 1, …, n: è l'urna con n palline identiche numerate (o il dado onesto). Ripartizione a gradini di altezza costante; media al centro, (n+1)/2; varianza (n²−1)/12; simmetrica, piatta, senza moda.
| Richiede | Lez. 12 (equiprobabilità), lez. 36 (famiglie parametriche) |
| Serve per | Lez. 41 (Uniforme continua), lez. 54 (simulazione) |
| Notazione | X ∼ Ud(n), n ∈ ℕ |
| Supporto | S = {1, 2, …, n} |
| Massa | Pr(X = x) = 1/n |
| Ripartizione | F(x) = k/n per k ≤ x < k+1 (0 prima di 1, 1 da n in poi) |
| Media | (n + 1)/2 |
| Varianza | (n² − 1)/12 |
| Asimmetria / curtosi | γ₁ = 0; γ₂ = 1,8 (platicurtica) |
| Prova tipica | Urna con n palline identiche numerate da 1 a n; dado onesto |
| Momenti grezzi | µ₁ = (n+1)/2; µ₂ = (n+1)(2n+1)/6 |
| Copertura | tutta la distribuzione sta in µ ± kₙσ, kₙ = √(3(n−1)/(n+1)) → √3 per n → ∞ |
| Trasformata Yₙ = X/n | E → 1/2; Var → 1/12 per n → ∞ (anticipa l'Uniforme continua) |
Errata corrige verificata: la dispensa (pag. 9) scrive kₙ = 3(n−1)/(n+1), con 2,14 per n = 6 e limite 3. Ricalcolando (max − µ)/σ si ottiene invece kₙ = √(3(n−1)/(n+1)): 1,46 per il dado, 1,71 per n = 90, limite √3 ≈ 1,73. I numeri della dispensa sono kₙ² . La conclusione pratica resta valida: l'intera distribuzione sta entro µ ± 3σ.
Esempio svolto: il dado (esempio 37.2): X ∼ Ud(6). E(X) = 7/2 = 3,5; Var(X) = 35/12 ≈ 2,917; σ ≈ 1,708. Pr(|X − µ| < σ) = Pr(1,79 < X < 5,21) = 4/6 ≈ 0,67; Pr(|X − µ| < 2σ) = 1. Čebyšëv garantiva solo 0 e 0,75: conoscere la distribuzione rende le probabilità molto più precise.
Prova tu: Pr(X ≤ 4) per il dado? Soluzione sotto.
Soluzione: F(4) = 4/6.
Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 37. Variabile Casuale Uniforme Discreta, dispensa pdf/37.pdf, 14 pagine fisiche. Definizione: pagg. 3–6; momenti: pag. 7; esempio del dado: pagg. 8–9; quiz: pagg. 12–14. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 284–286.