Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 1: Spazi ed eventi
0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere
Classica (casi favorevoli / casi possibili), frequentista (limite della frequenza relativa), soggettiva (quanto un individuo coerente è disposto a scommettere).
Pr(E) = m/n: numero di risultati favorevoli a E diviso il numero di tutti i risultati possibili.
Perché per definire la probabilità richiede già il concetto di equiprobabilità dei casi, cioè una probabilità.
La probabilità come misura ha tre interpretazioni storiche: classica (rapporto m/n tra casi favorevoli e possibili, richiede equiprobabilità), frequentista (limite della frequenza relativa su infinite repliche), soggettiva (grado di fiducia c/s di un individuo coerente in una scommessa equa). Filosofie diverse, risultati non sempre concordi; la notazione è sempre Pr(·).
| Richiede | Lez. 3 (probabilità come misura, equiprobabilità) |
| Serve per | Lez. 9 (postulati), lez. 12 (eventi equiprobabili), lez. 14 (frequentista vs bayesiano) |
| Termine | Definizione breve | Esempio | Non-esempio |
|---|---|---|---|
| Probabilità classica | Rapporto tra i risultati che danno luogo a E e tutti i risultati possibili | Dado onesto: Pr(Eᵢ) = 1/6 | Un dado truccato (casi non equiprobabili) |
| Probabilità frequentista | Limite della frequenza relativa di E al crescere delle replicazioni | Su 5000 lanci la frequenza di testa converge a 0,5 | Un evento irripetibile (un'elezione specifica) |
| Probabilità soggettiva | Somma che un individuo coerente scommette in un gioco equo con vincita unitaria | 1 contro 20 sull'arrivo dell'idraulico → 1/21 | Una scommessa dettata dalla passione sportiva |
| Individuo coerente | Persona con un livello minimo di conoscenza, non condizionata da fattori esterni o passioni | Il ricercatore che valuta prima di scommettere | Chi scommette a caso o sempre sullo stesso esito |
| Misura | Formula | Quando si usa | Pagina |
|---|---|---|---|
| Classica | Pr(E) = m / n | Esiti finiti ed equiprobabili | 3 |
| Frequentista | Pr(E) = limn→∞ freq(E) / n | Esperimento ripetibile molte volte | 5 |
| Soggettiva | Pr(E) = c / s | Valutazione personale in gioco equo | 8 |
m = casi favorevoli; n = casi possibili (o repliche); freq(E) = volte in cui E si è verificato; c = cifra scommessa; s = somma ricevuta se E si verifica.
Le tre interpretazioni a confronto
| Criterio | Classica | Frequentista | Soggettiva |
|---|---|---|---|
| Autori | Galileo, Pascal, Fermat | von Mises | Ramsey, Savage, de Finetti |
| Fondamento | Conteggio di casi | Frequenza osservata | Grado di fiducia |
| Presuppone | Equiprobabilità | Repliche a condizioni costanti | Individuo coerente |
| Limite principale | Tautologica; inutilizzabile con esiti infiniti | Il limite è empirico, non analitico; non sempre si può replicare | Non univoca; bias da rischio della scommessa |
| Filosofia | Conoscenza finita e assoluta degli eventi | Requisito intrinseco degli eventi | Libera interpretazione dell'uomo |
Esempio guida (pagg. 6–7): lanciando una moneta onesta 5000 volte, la frequenza relativa di «testa» oscilla all'inizio e poi converge a 0,5 (Figura 1 del PDF, pag. 7). Il valore a cui converge è la probabilità frequentista; con la definizione classica lo stesso 1/2 si ottiene contando i casi.
Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.
Fonte. Lucio Palazzo, 4. Misura della probabilità, dispensa pdf/04.pdf, 15 pagine fisiche. Tre interpretazioni: pag. 2; classica: pagg. 3–4; frequentista: pagg. 5–7; soggettiva: pagg. 8–9; quiz: pagg. 12–14. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 182, 185–189.