Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità

Lezione 12. Misura di Probabilità per eventi equiprobabili

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quali 4 condizioni definiscono una partizione equiprobabile?

Eventi non nulli, necessari, incompatibili a due a due ed equiprobabili.

Quanto vale Pr(Eᵢ) in una partizione equiprobabile di n eventi?

1/n — e discende dai soli postulati, senza scegliere una misura (classica, frequentista o soggettiva).

Un evento quotato m : n che probabilità ha?

Pr(E) = m / (m + n). Esempio: quota 4:1 → 4/5.

1 · In 30 secondi

I postulati non impongono come assegnare i numeri alle probabilità. Ma se la prova genera una partizione equiprobabile di n eventi, l'assegnazione è univoca e gratuita: Pr(Eᵢ) = 1/n, e ogni evento composto da m elementari vale m/n. Stesso meccanismo per le probabilità proporzionali (dado truccato) e per gli odds delle scommesse: bastano i postulati.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 9 (postulati), lez. 8 (partizione), lez. 11 (indipendenza)
Serve per	Lez. 13 (contare i casi: combinatoria), lez. 16 (esempi con urne), lez. 37 (v.c. Uniforme discreta)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Eventi equiprobabili	Collezione con Pr(E₁) = … = Pr(Eₙ), anche se il valore comune è ancora incognito	Le 6 facce di un dado onesto	«Bianca» e «rossa» in un'urna 4+1
Partizione equiprobabile	Eventi non nulli, necessari, incompatibili ed equiprobabili	{TT, TC, CT, CC} con due monete oneste	{Bₖ, Rₖ} dell'urna 4+1: partizione sì, equiprobabile no
Probabilità proporzionali	Probabilità multiple di un parametro p incognito, ricavabile dai postulati	Dado truccato: Pr(Eᵢ) = i·p, p = 1/21	Probabilità assegnate a caso
Odds (quotazione)	Rapporto tra la probabilità di un evento e quella della sua negazione	Vittoria quotata 4:1 → Pr = 4/5	La probabilità stessa (4/5 non è «4 a 1 la probabilità»)

4 · Formule essenziali

Nome	Formula	Pagina
Equiprobabilità	Pr(E₁) = Pr(E₂) = … = Pr(Eₙ)	3
Teorema 1 (partizione equiprobabile)	Pr(Eᵢ) = 1/n, ∀i	4
Evento composto	A = {E₁,…,Eₘ} ⟹ Pr(A) = m/n	5
Dado proporzionale	Pr(Eᵢ) = i·p, Σ = 21p = 1 ⟹ p = 1/21	10–11
Odds m : n	Pr(E) = m / (m + n)	12

5 · Cuore della lezione

La derivazione chiave (pag. 4): 1 = Pr(Ω) = Pr(E₁ ∪ … ∪ Eₙ) = Pr(E₁) + … + Pr(Eₙ) = n·Pr(E₁), quindi Pr(Eᵢ) = 1/n. Usa solo il II postulato, il III (incompatibilità della partizione) e l'equiprobabilità. Di qui, contando gli elementari dentro A: Pr(A) = m/n — la «formula classica» ritrovata però come teorema.

Esempio delle due monete (esempio 12.1, pag. 6): Ω = {TT, TC, CT, CC}, partizione equiprobabile → ogni coppia vale 1/4; A = «almeno una testa» = {TT, TC, CT} → Pr(A) = 3/4.

L'esercizio dell'urna rivisitato (esempio 12.2, pagg. 7–9): {Bₖ, Rₖ} non è equiprobabile, ma numerando le palline {S₁,…,S₅} la partizione diventa equiprobabile (1/5 ciascuna). Con ripetizione: Pr(2 bianche) = (4/5)² = 16/25. Senza ripetizione: Pr(B₁)·Pr(B₂|B₁) = (4/5)·(3/4) = 3/5. Il trucco: scendere agli eventi elementari davvero alla pari.

6 · Trappole

Partizione ≠ partizione equiprobabile: servono tutte e 4 le condizioni; {bianca, rossa} copre Ω ma non è alla pari.
L'equiprobabilità vale per gli elementari, non per ogni evento: un composto vale m/n, non 1/n.
Equiprobabilità non dice nulla su dipendenza o condizionate: vanno calcolate con le regole delle lezioni 10–11.
Odds 4:1 non è probabilità 1/4 né 4/4: è 4/(4+1) = 4/5 per l'evento, 1/5 per la negazione.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 16–18). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 12. Misura di Probabilità per eventi equiprobabili, dispensa pdf/12.pdf, 18 pagine fisiche. Equiprobabilità: pagg. 3–5; esempi: pagg. 6–9; proporzionali e odds: pagg. 10–12; quiz: pagg. 16–18. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 211–221.