Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 2: Misure di probabilità

Lezione 13. Analisi combinatoria e Calcolo delle probabilità

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quali due domande individuano lo schema combinatorio giusto?

1) L'ordine conta? 2) Gli elementi si possono ripetere? Le quattro risposte danno i quattro schemi.

Quante sequenze ordinate con ripetizione di n elementi da N?

Nⁿ (disposizioni con ripetizione).

Quante quintine al Lotto?

C(90,5) = 43.949.268: combinazioni senza ripetizione (ordine irrilevante, numeri non ripetibili).

1 · In 30 secondi

Per misurare probabilità con la formula m/n bisogna saper contare i casi. La premessa è il principio moltiplicativo (nA·nB coppie da due insiemi). Poi due domande — conta l'ordine? c'è ripetizione? — individuano uno dei 4 schemi: disposizioni (con/senza ripetizione) e combinazioni (con/senza ripetizione). Le permutazioni sono il caso n = N.

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 6 (estrazioni con/senza ripetizione), lez. 12 (probabilità m/n)
Serve per	Lez. 16 (esercizi con urne), lez. 39 (coefficiente binomiale nella Binomiale)

3 · Concetti chiave

In Ripasso le definizioni sono coperte: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Termine	Definizione breve	Esempio	Non-esempio
Disposizioni con ripetizione	Gruppi ordinati di n da N elementi ripetibili: Nⁿ	Schedina Totocalcio (1-X-2)	Quintina del Lotto
Disposizioni senza ripetizione	Gruppi ordinati di n elementi tutti diversi: N!/(N−n)!	Assegnare n posti auto a N vetture	Sequenza in cui una vettura torna due volte
Combinazioni con ripetizione	Gruppi non ordinati con elementi ripetibili: C(N+n−1, n)	Distribuire n banconote tra N individui	Una classifica (lì l'ordine conta)
Combinazioni senza ripetizione	Gruppi non ordinati di elementi tutti diversi: C(N, n) = N!/(n!(N−n)!)	Quintine del Lotto	Totocalcio (simboli ripetibili)

4 · Formule essenziali

La Tabella 1 della dispensa (pag. 13), il cuore da memorizzare:

Schema	Ordine conta	Ripetizione	Cardinalità
Disposizioni con ripetizione	Sì	Sì	Nⁿ
Disposizioni senza ripetizione	Sì	No	N! / (N−n)!
Combinazioni con ripetizione	No	Sì	C(N+n−1, n)
Combinazioni senza ripetizione	No	No	C(N, n) = N! / (n!(N−n)!)

Principio moltiplicativo	card(A × B) = nA · nB (pag. 2)
Permutazioni	n = N nelle disposizioni senza ripetizione: N! (pag. 8)
Permutazioni circolari	(N − 1)! (pag. 9)

5 · Cuore della lezione

Procedura per scegliere lo schema (un'azione per passo):

Identifica N (popolazione) e n (elementi scelti).
Chiedi: due sequenze con gli stessi elementi in ordine diverso sono risultati diversi? Sì → disposizioni; no → combinazioni.
Chiedi: un elemento estratto può ricomparire? Sì → con ripetizione; no → senza ripetizione.
Applica la formula della tabella e, per le probabilità, metti il conteggio favorevole su quello totale.

Esempio svolto (esempi 13.4–13.8, con Ω = {a, b, c, d}, N = 4, n = 2): ordinate con ripetizione → 4² = 16; ordinate senza → 4·3 = 12; non ordinate con ripetizione → C(5,2) = 10; non ordinate senza → C(4,2) = 6. Stessa urna, quattro conteggi diversi: cambia solo la coppia ordine/ripetizione.

Prova tu: quante colonne ha una schedina con 13 partite (1-X-2)? Risposta sotto la prossima riga (non guardare prima di provare).

Soluzione: disposizioni con ripetizione, 3¹³ = 1.594.323.

Esempi numerici della dispensa: targhe italiane ante 1999: 24·24·10·10·10·24·24 = 331.776.000 (pag. 3); quiz patente, 30 domande binarie: 2³⁰ ≈ 1,07 miliardi (pag. 4); anagrammi di CANE: 4! = 24 (pag. 8); quintine del Lotto: C(90,5) = 43.949.268 (pag. 12).

6 · Trappole

«Estrazione con ripetizione» non implica ordine: ripetizione e ordine sono due assi indipendenti; decidili separatamente.
Permutazione = caso particolare, non schema a sé: disposizioni senza ripetizione con n = N.
Posti a sedere / classifiche → l'ordine conta (disposizioni); gruppi e mani di carte → l'ordine non conta (combinazioni).
Nel cerchio si perde una posizione: permutazioni circolari (N−1)!, non N!.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 16–18). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 13. Analisi combinatoria e Calcolo delle probabilità, dispensa pdf/13.pdf, 18 pagine fisiche. Principio moltiplicativo: pagg. 2–4; i 4 schemi: pagg. 5–12; tabella riassuntiva: pag. 13; quiz: pagg. 16–18. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 211–221.