Calcolo delle Probabilità — Macroargomento 6: Distribuzioni di probabilità

Lezione 38. Variabile Casuale di Bernoulli

0 · Domande flash — prova a rispondere prima di leggere

Quale prova genera una Bernoulli?

Una prova dicotomica: interessa solo se un evento E (successo) si verifica o no.

Media e varianza di Ber(θ)?

E(X) = θ; Var(X) = θ(1 − θ), massima (1/4) per θ = 1/2.

Quando la varianza è nulla?

Per θ = 0 o θ = 1: la Bernoulli degenera in una costante (Dirac).

1 · In 30 secondi

La Bernoulli Ber(θ) è il modello di ogni prova a due esiti: successo (X = 1) con probabilità θ, insuccesso (X = 0) con probabilità 1 − θ. Tutti i momenti grezzi valgono θ; media θ, varianza θ(1−θ), massima per θ = 1/2 (massima incertezza). Molti fenomeni complessi si riducono a Bernoulli con una soglia («inflazione sopra il 2%», «più di 10 email»).

2 · Collocazione

Richiede	Lez. 27 (momenti della moneta: già calcolati lì), lez. 36
Serve per	Lez. 39 (Binomiale = somma di Bernoulli), lez. 52 (legge dei grandi numeri sulle frequenze)

3 · Carta d'identità

In Ripasso i valori sono coperti: richiama a mente, poi clicca «mostra».

Notazione	X ∼ Ber(θ), θ ∈ [0, 1] (anche p o π)
Supporto	S = {0, 1}
Massa	Pr(X=1) = θ; Pr(X=0) = 1−θ; compatta: θˣ(1−θ)¹⁻ˣ
Ripartizione	0 per x < 0; 1−θ per 0 ≤ x < 1; 1 per x ≥ 1
Media	θ
Varianza	θ(1 − θ) ∈ [0, 1/4]
Asimmetria	(1 − 2θ)/√(θ(1−θ)); 0 per θ = 1/2
Curtosi	(1 − 3θ + 3θ²)/(θ(1−θ)); 1 per θ = 1/2
Moda	1 se θ > 0,5; 0 se θ < 0,5; bimodale (nessuna moda) se θ = 0,5

4 · Formule essenziali

Momenti grezzi	µᵣ = 0ʳ(1−θ) + 1ʳθ = θ, ∀r ≥ 1
Varianza	µ₂ − µ² = θ − θ²
Legame	Ber(θ) = Bin(1, θ)

5 · Cuore della lezione

Casi limite (pagg. 8–9):

θ	Situazione	Varianza
1/2	Massima incertezza: lancio della moneta all'inizio della partita	1/4 (massima)
0	Successo impossibile: costante in 0	0 (degenere)
1	Successo certo: costante in 1	0 (degenere)

Dicotomizzare (esempio 38.1): testa/croce, pallina bianca/nera, «più di 4 al dado», doppio 6, referendum, test negativo, esame superato, «la squadra non perde» (vittoria ∪ pareggio). «Successo» è una convenzione: può essere anche un evento negativo (un decesso, un test positivo).

6 · Trappole

Il supporto è {0, 1}, non {1/2, 1/2} né {1, …, n}.
Varianza θ(1−θ), non θ²(1−θ)²: la massima è 1/4, non 1/2.
Ripartizione tra 0 e 1 vale 1−θ (la probabilità dell'insuccesso), non θ.
Ber(0,333): la probabilità di successo è 1/3 — è il parametro stesso.

7 · Quiz della lezione (10 domande)

Domande originali della dispensa (pagg. 12–14). Scegli una risposta: ricevi subito esito e spiegazione.

Fonte. Lucio Palazzo, 38. Variabile Casuale di Bernoulli, dispensa pdf/38.pdf, 14 pagine fisiche. Definizione: pagg. 3–5; momenti: pagg. 6–7; casi limite: pagg. 8–9; quiz: pagg. 12–14. Riferimento: D. Piccolo, Statistica per le decisioni, il Mulino, 2020, pagg. 299–300.